2-4-2 凸集分离定理

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1、凸集的分离性直观解释：平面上两个不交凸集可用一条直线分开；空间两个不交凸集可用一个平面分开…超平面设f是线性空间X上的非零线性泛函，c为常数，称线性流形Hc={x：f(x)=c}为X的f一个超平面。例：X为Hilbert空间，f±X*，则由Riesz定理，存在y±X，s.t.f(x)=(x，y)，x±X。ff此时，Hc经过cy/

2、

3、y

4、

5、2并且与y垂直。ffff超平面的性质性质1、Hc=x+H0，其中f(x)=c。f0f0即将线性子空间H0平移到经过x的位置。f0证明：直接验证即可。注：与线性代数中线性方程组理论比较，非齐次线性方程组的通解=特解+对应齐次线性方程组的通解超平面的性质性质2、

6、设x∈XH0，则X=span{x}¨H00f0f0¾X的线性子空间H比X“少”一维。f即H0的余维数codimH0=1ff余维数：Y、Z闭，X=Y¨Z，则codimY=dimZ=dimX/Y超平面的性质性质2、设x∈XH0，则X=span{x}¨H00f0f证明：显然span{x}∩H0={0}，从而是直和。0f下证y±X，必有y=x+λx，其中，x±H0，0fλ±K。令λ=f(y)/f(x)，x=y-λx，则00f(x)=f(y)-f(λx)=0，0即x±H0f超平面的性质性质3、M为X的真子空间，x±XM，s.t.0X=span{x}¨M。(*)0则存在X上的线性泛函f，满足f(x

7、)≠0，f(M)=0。0¾其中x可以是XM中的任意元；0¾由(*)，比M更大的子空间只有X本身，因此称M为极大子空间。超平面的性质证明：对任意y±X，由(*)可知!x±M，λ±K，使得y=x+λx。令0f(y)=λc其中c0为常数。则f满足f(x)=c≠0，f(M)=0。0超平面的性质推论1、M为超平面xM为极大子空间。推论2、若X为B*空间，则f±X*xM闭证明：由f定义知N(f)={x

8、f(x)=0}=M若f连续，则x±clN(f)，有f(x)=0。因此，clN(f)=N(f)，即M闭。超平面的性质推论1、M为超平面xM为极大子空间。推论2、若X为B*空间，则f±X*xM闭证明：由f

9、定义知N(f)={x

10、f(x)=0}=M反之，若f无界，则{x}¯XM，满足n

11、

12、x

13、

14、=1，f(x)=n。nn于是，f(x/n–x)=0，即x/n–x±Mn1n1但x/n–x

15、–x²M。因此，M不闭。n11凸集的分离称超平面Hc分离集合E和F：ff(x)≤c(≥c)，x±E；f(x)≥c(≤c)，x±F。¾当上式中取“<，>”时称严格分离；¾不考虑超平面的具体位置时上式即supf(x)≤(<)inff(x)。x±Ex±F凸集与点的分离定理：设X为实B*空间，E为X的凸子集，x±XE，0为E的内点。则f±X*，c±R，0使得Hc分离x和E。f0分析：寻找超平面Hc，应利用0与x的连

16、f0线与E的边界的交点x。1这也是要求0为内点的原因。凸集与点的分离分析：如图，由超平面Hc和直线0xx的位f10置关系，可知H0¨span{x}=X。f0注意到性质3，f应该满足f(x0)0，不妨取x0Hcff使得f(x)=1。1x1然后，将f延拓到整个X0使得Hc将E和x分离。f0凸集与点的分离为利用延拓定理，先确定次线性泛函p(x)，¾在E的边界上，令p(x)=p(x)=1；1¾由于E为凸集，0为E的内点，对XE上的点x，射线0x与E的边界有唯一交点，可直接利用正齐次性确定p(x)的值。即p(x)=

17、

18、x

19、

20、/

21、

22、y

23、

24、，x±XE，其中，y为射线0x与E的边界的交点。凸集与点的分离

25、¾易验证p(x)为X上的次线性泛函。且与如下闵科夫斯基泛函相等，p(x)=inf{λ>0：x/λ±E}。¾p(x)≥1(“=”成立xx=x)。001¾在E的内部，p(x)≤1。z要使得f(x)≥c，f(x)≤c，先令p满足。0凸集与点的分离接下来构造span{x}上有界线性泛函，令0f(λx)=λp(x)，λ±R。000则f(λx)=p(λx)，λ0，000f(λx)<0p(λx)，λ<0。000即f(λx)p(λx)，λ±R。000凸集与点的分离再利用Hahn-Banach定理将f延拓为f±X*。0满足f(x)p(x)，x±X。只须取c=1，注意到p的性质¾p(x)≥1(“=”成立

26、xx=x)。001¾在E的内部，p(x)≤1。可知Hc分离x和Ef0凸集与点的分离推论3：设X为实B*空间，E为X的凸子集，0为E的内点，x²clE。则f±X*，c±R，0使得Hc严格分离x和E。f0证明：注意到定理的证明过程中，当x不在0E的边界，则有p(x)>p(x)=1，而在E上01(包括边界和内部)，有p(x)≤1。因此，只须取c=(1+p(x))/2即得。0凸集的承托超平面若x±E，则