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时间:2020-03-27
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1、专题七 数学思想方法第一讲 函数与方程思想函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想,是从问题中的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.有时,还通过函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的.函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.函数是高中数学的重要内容之一,其理论和应用涉及各个方面,是贯穿整个高中数学的一条主线.这里所说的函数思
2、想具体表现为:运用函数的有关性质,解决函数的某些问题;以运动和变化的观点分析和研究具体问题中的数学关系,通过函数的形式把这种关系表示出来并加以研究,从而使问题获得解决;对于一些从形式上看是非函数的问题,经过适当的数学变换或构造,使这一非函数的问题转化为函数的形式,并运用函数的有关概念和性质来处理这一问题,进而使原数学问题得到顺利地解决.尤其是一些方程和不等式方面的问题,可通过构造函数很好的处理.方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系,从而建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.尤其是对于一些从形
3、式上看是非方程的问题,经过一定的数学变换或构造,使这一非方程的问题转化为方程的形式,并运用方程的有关性质来处理这一问题,进而使原数学问题得到解决.函数与方程的思想在解题中的应用十分广泛,主要有以下几方面:拓展提升——开阔思路 提炼方法一般地,在一个含有多个变量的数学问题中,需要确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化,或者在含有参数的函数中,将函数自变量作为参数,而参数作为函数自变量,更具有灵活性,从而巧妙地解决有关问题.求解本题的关键是变换角度,以参数m作为自变量而构造函数式,不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题.拓展提升——开阔思
4、路 提炼方法(1)求字母(或式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组),然后由方程(组)求得.(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题.解决这类问题一般有两种途径,其一,充分挖掘题设条件中的不等关系,构建以待求字母为元的不等式(组)求解;其二,充分应用题设中的等量关系,将待求参数表示成其他变量的函数,然后,应用函数知识求值域.(3)当问题中出现两数积与这两数和时,是构建一元二次方程的明显信息,构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决.(4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减
5、少变量的个数,如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式,那么就可用研究函数的方法将问题解决.拓展提升——开阔思路 提炼方法解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题,一般利用函数思想来解决,思路是先选择恰当的变量建立目标函数,再用函数的知识来解决.点击此处进入专题强化训练
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