高三数学基础知识与典型例题复习-函数.doc

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1、第二章函数映射映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射。例1.若，,则到的映射有个，到的映射有个；若，,则到的一一映射有个。例2.设集合A和集合B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是()（A）2（B）3（C）4（D）5函数1.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)

2、x∈A}为

3、值域。2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则.从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。3.函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。 例3.已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则；定义域为。例4.求函数的定义域.

4、例5.若函数的定义域为[-1,1]，求函数的定义域。4.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤例6.已知(x¹0),求.函数不等式法；⑥单调函数法.注:⑴求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便.⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。①函数的值域为R;②二次函数当时值域是,当时值域是]；③反比例函数的值域为；④指数函数的值域为；⑤对数函数的

5、值域为R；⑥函数的值域为[-1，1]；函数,的值域为R；例7.求函数的值域.例8.下列函数中值域为的是()(A)(B)(C)(D)单调性函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分.对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在上为减函数.例9.讨论函数的单调性。单调单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。判断函数单调性的方法：①例10.函数在定义域上的单调性为()（A）在上是增函数，在上是增函数;（B）减函数;（C）在性定义法（作差比较和作商比

6、较）；②图象法；③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；④复合函数单调性判断法则;⑤导数法（适用于多项式函数）函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。上是减函数，在上是减函数;（D）增函数例11.已知函数f(x),g(x)在R上是增函数，求证：f[g(x)]在R上也是增函数。奇偶性1.⑴偶函数：.设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.⑵偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.②满足，或，若时，.2.⑴奇函数：.设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.⑵奇函数的判定

7、：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.②满足，或，若时，.注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如，（f(x)≠0）例12.判断下列函数的奇偶性：①,②,③反1.反函数定义：只有满足，函数例13.求函数（-1≤x<0）的反函数函数才有反函数.例如：无反函数.函数的反函数记为，习惯上记为.2.求反函数的步骤:①将看成关于的方程,解出，若有两解，要注意解的选择；②将互换，得；③写出反函数的定义域（即的值域）。3.在同一坐标系，函数与它的反函数的图象关于对称.[注]

8、：一般地，的反函数.是先的反函数，在左移三个单位.是先左移三个单位，在的反函数.例14.已知，函数y=g(x)图象与的图象关于直线y=x对称，求g(11)的值。反4.⑴单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数.⑵如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.例15.若函数的图象经过，那么的反函数图象经过点()(A)(B)(C)(D)函数⑶设函数y=f（x）定义域，值域分别为X、Y.如果y=f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同.