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《11数学基础知识与典型例题复习--函数极限与导数.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数学基础知识与典型例题（导数）I•曲线的切线和切线的斜率:Hli线在点卩（看），儿）处的切线，是指曲线上点P的邻近点Q（x（）+心，儿+△），）沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ的极限位置所在的直线.根据切线的定义，切线的斜率应通过极限过程求得•，即k=tana=lim—.mtoAx——A52•瞬时速度：非匀速直线运动物体在时刻/的临近时间间隔t内的平均速度V（V=—），当Ar—△/T0时，y的极限值v叫做物体在时刻/的速度，也叫瞬时速度•即v=lim——“toAr3.导数的定义：设勺是函数y=/（x）定义域的一点，如果自变量兀在X。处有增则函数值）'也引起相应的增量Ay=/（XO+A
2、1）-/（xo）；比值Ay_/（x0+Av）-/UQ）称为函数y=f（X）在点AxAx勺到X0+Ar之间的平均变化率；如果极限
3、im型=lim心匚空二如存在，则称函数心3->0Ary=/（x）在点x0处可导，并把这个极限叫做y=/（x）在x0处的导数，记作广（x°）或y'1円，即/U）=limG=lim心心）7（兀）•^->0心A-M）Aa由定义可知函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=/（x）在点P（x0,y°）处的切线的斜率.也就是说，曲线y=/O）在点p（x0,/（x））处的切线的斜率是fg,切线方程为y-儿=广（尤）（尤一兀0）・注：⑴山是增量,我们也称为“改变量
4、”,因为△%可正,可负，但不为零.⑵函数y=f（x）在点x0处连续与点x0处可导的关系：①函数y=/（兀）在点勺处连续是）'=/CO在点勺处可导的必要不充分条件.可以证明，如果y=/（兀）在点勺处可导，那么y=fM点勺处连续.事实一匕令x=x0+Ax,则兀TA：。相当于心—0・于®limf(x)=lim/(x0+Ax)=lim[/(x+x0)-/(x0)+f(xQ)]xfSAxtO心tO=]叫/(X。+；)-/(勺).z+/g)]=Iim"%+节)75).lim+limf(x0)=fXx^O+fix.)=/(x0)-"tuAyax->o心mtO心-③如果y=/(兀)点兀o处连续,那么y
5、=/(兀)在点兀处可导，是不成立的.△vIAr
6、例：/(兀)=1x1在点心=0处连续，但在点勺=0处不可导，因为二-=—,AxAx当心>0时，—=1；当Arvo时，—=-L故lim—不存在.AaAx山toAx4.导函数：函数y=/（X）在开区间（a,b）内毎一点处的导数都存在，就说/（X）在（G,〃）内可导，其导数也是（«,/?）内的函数，这一新函数叫做/（X）在开区间（幺方）内的导函数，记作广（兀）或y（需指明自变量时记作y：）函数/（兀）的导函数广（兀）在x=尤（）时的函数值广（兀）就是y=/W在点x0处的导数.注：①可导的奇函数,其导函数为偶函数.②可导的偶函数,其导函数为奇函数
7、.导数5.儿种常见函数的导数：%1C，=0;②（兀"）=③（sinx）r=cosx；④（cosx）r=-sinx；⑤（exy=ex®{axy=axIna；⑦（in兀j=-；⑧（l（?gax/=-ogae.•XX6.可导法则:①（U±V），=U，±V，推r：y=/1（x）+/2（x）+.4-/；«=＞/=/；«+/；«+.+伽）；%1（wv/=v//+vm；®M一皿④（C"）'=C“'（C为常数）;⑤复合函数求导”注：①必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导：若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.22例如：设/（x）=2sinx+—»g（x）=
8、cosx——，则/（x）,g（x）在x=0处均不可导，但它XX们和/（x）+g（x）=sin兀+cos兀在兀=0处均可导.7.导数的运用：⑴判断函数/（x）在某个区间内的单调性的方法:一般地,设函数y=/（x）在某个区间内可导，如果广（x）＞0,则f（x）为增函数;如果fx）＜0则/（兀）为减函数;如果/（x）=0,则于（兀）为常数函数.注：①是/（X）递增的充分条件，但不是必要条件，i\y=2x3在（Y,+00）上并不是都有广（羽＞0,有一个点例外即％=0时广（对=0,同样广⑴＜0也是f（x）递减的充分非必要条件.②一般地，如果广（X）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（
9、或负），那么/（X）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.⑵函数的极值：一般地，设函数），二/（X）在点Xq附近有定义,如果对Xq附近的所有的点，都有/（X）＜/（10），则/（兀）是/（Q的一个极大值;如果对无）附近的所有的点，都有/（Aj＞M）,则“5）是“丫）的一个极小值.注:①求可导函数的极值点可用导数來找，极值点一定是导数为0的点.若点勺是可导函数/（■¥）的极值点，则广（兀）=0.但反过來不一定成立.对于可导函数，其一点心是极值
