高三数学基础知识与典型例题复习----函数

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1、第二章函数映射映射：设非空数集A,B,若对集合A中任一元素a,在集合B小有唯一元素b与Z对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A->B,f表示对应法则，b=f(a).若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都冇原彖与Z对应，则称从A到B的映射为映射。例1.若A={1,2,3,4},B={a9b,c}9则A到B的映射有个，B到A的映射有个：若A={1,2,3}，B={aM,则A到B的映射有个。例2.设集合A和集合B都是自然数集合N,映射f:A^B把集合A中的元索斤映射到集合B中的元素2"+九，则在映射

2、/下，象20的原象是()(A)2(B)3(C)4(D)5函数1•函数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射，此时称数集A为定义域，彖集C={/(x)lxeA}为值域。2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则.从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。3.函数定义域的求法:列岀使函数有意义的口变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式屮被开方数不小于0;③对数的真数大于0,底数大于零且不等T1;④零指数幕的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际

3、意义等.注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式(组)来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。例3.已知扇形的周长为20,半径为厂，扇形而积为S,则S=f(厂)=；定义域为。JX2_3r-4例4.求函数=54的定义域.x+l

4、-2例5.若函数y=/(x)的定义域为[-1,1],求函数y=/(%+丄)•/(%-—)的定义域。44函数4.函数值域的求法：①配方法（二次或四次）；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数

5、法.注:⑴求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）史加方便.⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。①函数y=kx+b（k沁xeR）的值域为R；②二次函数y=ai+加当a>0时值域是［仏"，切,当°<0时值4a域是（-00,4"-沪］;③反比4a例函数y*（“0,"0）的值域为｛y1y工0｝；④指数函数y=ax（a>0,3a^l,xeR）的值域

6、为R+;⑤对数函数y=logaJ（a>0,且a工1,兀>0）的值域为R;⑥函数y=sinx,y=cosx（xeR）的值域为卜1,1］;函数y=tant,x丰炊冷，y=cotx（x^k7VykeZ）的值域为R;1_V2例6•已知g(x)=l2x,f[g(x)]=2gO),X求卅).例7.求函数y=2x+4y/-x的值域.例8•下列函数中值域为(0,+oo)的是()1⑴-(A)y=52-(B)y=(C)yjX-1(D)y=71-2X单调性函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分.对于具体的函

7、数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0,1）上为减函数，在区间（1,2）上为减函数，就不能说函例9.讨论函数/（x）=71-x2的单调性。数在（0,1）U（1,2）上为减函数.单调性：研究函数的单调性应1结合函数单调区间，单调区间例10.函数y=在定义域上的单调性为应是定义域的了集。()判断函数单调性的方法：①定（A）在（-8,1）上是增函数，在（1,+8）上是增函义法（作差比较和作商比较）；数；（B）减函数；（C）在（-00,1）上是减函数，单②图象法；③单调性的运算性在（1,+

8、8）上是减函数;（D）增函数质（实质上是不等式性质）；例11.已知函数/（x）,g（x）在R上是增函数，求调④复合函数单调性判断法则；证：f[gU）]在R上也是增函数。⑤导数法（适用于多项式函数）函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。性1.⑴偶函数:/（-X）=/（X）.设例12.判断下列函数的奇偶性：（Q"）为偶函数上一点，则h+兀（-a.b）也是图彖上一点.①心"忙’奇⑵偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于），轴对称，例如：^=

9、x2+l在[1,-1）±不是偶函数.②满足/(-X)=/(%),或/(-x)-/(x)=0,②j(x)=a/x2—1J1—X2,若/⑴工。时'-1・偶/（-A"）2.⑴奇函数：心）=-炖）.设性（⑦方）为奇函数上一点，则（-a-b）也是图象上一点.⑵奇函数的判定：两个条件同吋满足①定义域一定要关于rC原点对称，例如：y"在[1,-1）③・f(g2+兀(x<0)上不是奇函数.②满足f（-x）=-f（x）,或f（-x）+/«=0,若/（X）H0