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《高三数学基础知识与典型例题复习----函数》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第二章函数映射映射:设非空数集A,B,若对集合A中任一元素a,在集合B小有唯一元素b与Z对应,则称从A到B的对应为映射,记为f:A->B,f表示对应法则,b=f(a).若A中不同元素的象也不同,且B中每一个元素都冇原彖与Z对应,则称从A到B的映射为映射。例1.若A={1,2,3,4},B={a9b,c}9则A到B的映射有个,B到A的映射有个:若A={1,2,3},B={aM,则A到B的映射有个。例2.设集合A和集合B都是自然数集合N,映射f:A^B把集合A中的元索斤映射到集合B中的元素2"+九,则在映射
2、/下,象20的原象是()(A)2(B)3(C)4(D)5函数1•函数定义:函数就是定义在非空数集A,B上的映射,此时称数集A为定义域,彖集C={/(x)lxeA}为值域。2.函数的三要素:定义域,值域,对应法则.从逻辑上讲,定义域,对应法则决定了值域,是两个最基本的因素。3.函数定义域的求法:列岀使函数有意义的口变量的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为:①分母不为0;②偶次根式屮被开方数不小于0;③对数的真数大于0,底数大于零且不等T1;④零指数幕的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际
3、意义等.注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式(组)来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格,解析式和图象。例3.已知扇形的周长为20,半径为厂,扇形而积为S,则S=f(厂)=;定义域为。JX2_3r-4例4.求函数=54的定义域.x+l
4、-2例5.若函数y=/(x)的定义域为[-1,1],求函数y=/(%+丄)•/(%-—)的定义域。44函数4.函数值域的求法:①配方法(二次或四次);②判别式法;③反函数法(反解法);④换元法(代数换元法);⑤不等式法;⑥单调函数
5、法.注:⑴求函数值域是函数中常见问题,在初等数学范围内,直接法的途径有单调性,基本不等式及几何意义,间接法的途径为函数与方程的思想,表现为△法,反函数法等,在高等数学范围内,用导数法求某些函数最值(极值)史加方便.⑵常用函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。①函数y=kx+b(k沁xeR)的值域为R;②二次函数y=ai+加当a>0时值域是[仏",切,当°<0时值4a域是(-00,4"-沪];③反比4a例函数y*(“0,"0)的值域为{y1y工0};④指数函数y=ax(a>0,3a^l,xeR)的值域
6、为R+;⑤对数函数y=logaJ(a>0,且a工1,兀>0)的值域为R;⑥函数y=sinx,y=cosx(xeR)的值域为卜1,1];函数y=tant,x丰炊冷,y=cotx(x^k7VykeZ)的值域为R;1_V2例6•已知g(x)=l2x,f[g(x)]=2gO),X求卅).例7.求函数y=2x+4y/-x的值域.例8•下列函数中值域为(0,+oo)的是()1⑴-(A)y=52-(B)y=(C)yjX-1(D)y=71-2X单调性函数的单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分.对于具体的函
7、数来说可能有单调区间,也可能没有单调区间,如果函数在区间(0,1)上为减函数,在区间(1,2)上为减函数,就不能说函例9.讨论函数/(x)=71-x2的单调性。数在(0,1)U(1,2)上为减函数.单调性:研究函数的单调性应1结合函数单调区间,单调区间例10.函数y=在定义域上的单调性为应是定义域的了集。()判断函数单调性的方法:①定(A)在(-8,1)上是增函数,在(1,+8)上是增函义法(作差比较和作商比较);数;(B)减函数;(C)在(-00,1)上是减函数,单②图象法;③单调性的运算性在(1,+
8、8)上是减函数;(D)增函数质(实质上是不等式性质);例11.已知函数/(x),g(x)在R上是增函数,求调④复合函数单调性判断法则;证:f[gU)]在R上也是增函数。⑤导数法(适用于多项式函数)函数单调性是函数性质中最活跃的性质,它的运用主要体现在不等式方面,如比较大小,解抽象函数不等式等。性1.⑴偶函数:/(-X)=/(X).设例12.判断下列函数的奇偶性:(Q")为偶函数上一点,则h+兀(-a.b)也是图彖上一点.①心"忙’奇⑵偶函数的判定:两个条件同时满足①定义域一定要关于),轴对称,例如:^=
9、x2+l在[1,-1)±不是偶函数.②满足/(-X)=/(%),或/(-x)-/(x)=0,②j(x)=a/x2—1J1—X2,若/⑴工。时'-1・偶/(-A")2.⑴奇函数:心)=-炖).设性(⑦方)为奇函数上一点,则(-a-b)也是图象上一点.⑵奇函数的判定:两个条件同吋满足①定义域一定要关于rC原点对称,例如:y"在[1,-1)③・f(g2+兀(x<0)上不是奇函数.②满足f(-x)=-f(x),或f(-x)+/«=0,若/(X)H0