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1、江阴高中高三数学专题复习⑴分类与整合的思想2013.3【知识归纳】所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置．1．分类讨论是一种重要的数学思想方法，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：(1)由数学概念引起的分类讨论，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论，
2、如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算引起的分类讨论，如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数运算中真数和底数的要求等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论，如角的终边所在象限、点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论，如含参数的方程不等式等．⑹较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的．2．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据；（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法；（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口；（4）二分
3、法是分类讨论的利器（5）层次分明是分类讨论的基本要求；3．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元．如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算．如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．【基础演练】1.已知集合A＝{1.3.}，B＝{1，m}，AB＝A，则m=．2.已知圆x2＋y2＝4，则经过
4、点P(2,4)，且与圆相切的直线方程为．3.已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．4.若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是________．5.一个均匀的正四面体上分别有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，则方程为“漂亮方程”的概率是．6.已知平面单位向量a，b，c夹角两两相等，则
5、a＋b＋c
6、＝________.【考点例析】例题1（南京市、盐城市2013届高
7、三期末）对于定义在区间上的函数,若任给,均有,则称函数在区间上封闭.（1）试判断在区间上是否封闭,并说明理由；（2）若函数在区间上封闭,求实数的取值范围；（3）若函数在区间上封闭,求的值.例题2已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}是首项为1，公比为b的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.变式题：三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比是．例题3已知函数f(x)＝ax2－2xsin2α和函数g(x)＝lnx，记F(x
8、)＝f(x)＋g(x)．(1)当α＝时，若f(x)在[1,2]上的最大值是f(2)，求实数a的取值范围；(2)当a＝1时，判断F(x)在其定义域内是否有极值，并予以证明；(3)对任意的α∈，若F(x)在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数a的取值范围．例题4已知动直线与椭圆C:交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明和均为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；【方法技巧】分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，它可以将整体化为局部，将复杂问题化为单一问题，以便于“各个击破”．
9、但要注意克服思维定势，处理好“分”与“合”，“局部”与“整体”之间的辨证统一关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论．简化分类讨论的常用策略通常有：消去参数、整体换元、反客为主、补集分析、整体变形、借助图解．江阴高中高三数学作业（分类与整合思想）姓名．一、填空题1.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，那么a的取值范围是____________．2.在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝8，则S△ABC＝__________.3.设一双曲线的两条渐近线方程为2x－y＝0
10、,2x＋y＝0，则双曲线的离心率是________．4.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．5.设常数a>0，椭圆x2－a2＋a2y2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a＝________.6.已知等比数
