线性代数复习温习题.ppt

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1、第一章到第五章：复习要点第一章逆序数的计算、行列式的性质及计算；第二章解矩阵方程、伴随矩阵的性质、用矩阵的初等变换解题；第三章向量的线性相关性讨论、矩阵及向量组的秩的讨论、求向量组的秩和最大无关组；第四章带参数的非齐次线性方程组解的讨论、齐次或非齐次解的结构的讨论；第五章方阵的特征值及特征向量的讨论、用正交矩阵化实对称阵为对角阵（或用正交变换化二次型为标准形）、正定性判别。线性代数中的“一、二、三、四、五、六”一种基本运算：矩阵的初等变换。两大主线：向量与矩阵。三种矩阵关系：等价、相似、合同。四个难点：1.

2、矩阵和向量组的秩;2.伴随矩阵；3.相似变换;4.特征值和特征向量的讨论.五大板块：行列式、矩阵、向量、方程组、二次型。六个重要知识点：1.行列式的性质与计算;2.矩阵可逆的各种等价条件;3.矩阵秩与向量组的秩的讨论;4.向量组的相关性讨论;5.线性方程组的解的讨论;6.二次型化简（或对称阵化为对角阵）。一、填空1、6阶行列式中项的符号为。+2、已知向量组线性相关。则t=。33、设A，B同为n阶矩阵，。4、设=。5、设向量组等价，且线性无关，则r与t间满足。。7、设A是3阶矩阵，其特征值为1，-1，2，则A

3、2+3A-2E的特征值为。2，-4，89、若二次型是正定的，则t的取值范围是。10、若n阶可逆矩阵A的每行元素之和均为a,则数一定是矩阵的特征值。.8、设则矩阵A的秩R(A)=05年考研题.2例1补充例题04年考研题.1/9例2解例3设An为n阶行列式,证明A1,A2，…，An,…是一个等差数列，并由此求出An.即所以等差数列的首项为2，公差为1，由此可得证例4□5设有方程组问λ为何值时，该方程组有唯一解，无解，无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解。解增广矩阵当λ=4时，因为R(A)=R(B)=2，故此时

4、有无穷多个解。同解方程组为：通解为：故当λ≠4且λ≠－1时，方程组有唯一解。当λ=－1时，因为R(A)=2，而R(B)=3，故此时无解。综上：□61）设是其伴随矩阵，计算解1）故向量组的秩解2）为3，且为一个最大无关组2）求向量组的秩和一个最大无关组且将其余向量用此最大无关组线性表示。7设证明与有相同的秩。证只要证与等价。一方面由题设可由线性表示，另方面将题中等式全部加起来，得补充例题故也可由线性表示，从而与等价。□再分别用（*）减去题中每一个等式，可得7设证明与有相同的秩。证：由题设线性无关，而线性相关，

5、从而线性表示。故可设现设8设向量组的秩皆为3，向量组的秩为4。线性无关。与试证，向量组即线性无关。□由线性无关，知9.设　　　　　　　为线性方程组　　　　的一个基础解系，其中　　为实常数。试问　　　满足什么关系时，也为的一个基础解系。（2001年考研题）补充例题解　由于为的线性组合，所以均为的解。设（１）由于　　　　　　　线性无关，因此有所以当当s为奇数，时，方程组只有零解，即当s为偶数，从而线性无关。此时，也为方程组的一个基础解系。□例10易求得正交阵□例11.02年考研题2由于正交变换保持向量的长度不变

6、，故证设A的特征值为由定理10知，存在正交变换例12证明：二次型时的最大值为方阵A的最大特征值。在设则故证毕例12证明：二次型时的最大值为方阵A的最大特征值。在