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1、多元函数的极值概念极值的必要条件第十节无约束最优化问题第八章多元函数微分法及其应用极值的充分条件最大(小)值的求法小结思考题作业1一、多元函数的极值概念1.极大值和极小值的定义一元函数的极值的定义:是在一点附近将函数值比大小.定义点P0为函数的严格极大值点.类似可定义严格极小值点和严格极小值.设在点P0的某个去心邻域,为严格极大值.则称无约束最优化问题2注函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是局部的,一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的
2、最小值.有时,极值.极值点.内的值比较.是与P0的邻域极小值可能比极大值还大.无约束最优化问题3例例例函数存在极值,在(0,0)点取极小值.在(0,0)点取极大值.(也是最大值).在(0,0)点无极值.椭圆抛物面下半个圆锥面马鞍面在简单的情形下是容易判断的.函数函数(也是最小值).函数无约束最优化问题4证定理1(必要条件)则它在该点的偏导数必然为零:有极大值,不妨设都有说明一元函数有极大值,必有类似地可证二、极值的必要条件无约束最优化问题5推广如果三元函数具有偏导数,则它在有极值的必要条件为均称为函数
3、的驻点极值点(对于可导函数而言)仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,驻点.如,驻点,但不是极值点.注无约束最优化问题也称为鞍点.如何判定一个驻点是否为极值点6定理2(充分条件)的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:(1)有极值,有极大值,有极小值;(2)没有极值;(3)可能有极值,也可能无极值.三、极值的充分条件利用二阶泰勒公式可以说明.无约束最优化问题7求函数极值的一般步骤:第一步解方程组求出实数解,得驻点.第二步对于每一个驻点求出二阶偏导数的值第三步定出的符号,
4、再判定是否是极值.无约束最优化问题8例1证明函数有无穷多个极大值点,但无极小值点.例2.求函数的极值点.提示:无约束最优化问题9取得.然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,如:函数不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值.在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,还应研究偏导数不存在的点.注由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处但也可能是极值点.在点(0,0)处的偏导数无约束最优化问题10选择题已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,则(A)点(0,0)不是f(x,y)
5、的极值点.(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.无约束最优化问题11其中最大者即为最大值,与一元函数相类似,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法最小者即为最小值.将函数在D内的所有可能极值点的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,四、最大(小)值的求法无约束最优化问题12例3.求函数在圆域上的最大值,最小值.提示:无约束最优化问题13例4要制作容积V一定的无
6、盖长方体容器,问:如何选取长,宽.高,才能使用料最省?对于实际问题:若函数一定能取得最大(小)值,而函数在D内可微分且只有一个驻点,则此驻点就是最大(小)值点.无约束最优化问题14无约束最优化问题例5.在半径为R的圆内求一内接三角形,使其面积最大.问题为求的最大值.15介绍最小二乘法.无约束最优化问题16多元函数极值的概念多元函数取得极值的必要条件、充分条件多元函数最值的概念五、小结(上述问题均可与一元函数类比)无约束最优化问题17思考题答不一定.二元函数在点处有极值(不妨设为极小值),是指存在当点且
7、沿任何曲线趋向于一元函数在点x0处取得有极小值,表示动点且沿直线无约束最优化问题18并沿该直线(即沿平行于Ox轴的正负方向)趋向于它们的关系是:在点取得极大(小)值取得极大(小)值.无约束最优化问题19作业习题7.10(112页)2.3.(2)6.(B)2.6.无约束最优化问题20
