线性代数同济版 线代第二章.ppt

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1、第二章矩阵及其运算§1矩阵一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵与线性变换√√√√√其中√表示有航班始发地ABCD目的地ABCD例某航空公司在A、B、C、D四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示:√√一、矩阵概念的引入为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：ABCDABCD√√√√√√√这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量．例某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的

2、货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．由m×n个数排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．记作二、矩阵的定义简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵.这m×n个数称为矩阵A的元素，简称为元.行数不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式行数与列数都等于n的矩阵，称为n阶方阵．可记作.只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).元素全是零的矩阵称为零距

3、阵．可记作O.例如：三、特殊的矩阵形如的方阵称为对角阵．特别的，方阵称为单位阵．记作记作．同型矩阵与矩阵相等的概念两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵.两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元素相等，即则称矩阵A与B相等，记作A=B.注意：不同型的零矩阵是不相等的.例如表示一个从变量到变量线性变换，其中为常数.四、矩阵与线性变换n个变量与m个变量之间的关系式系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.例线性变换称为恒等变换.对应单位阵En对应投影变换例2阶方阵对应以原点为中心逆时针旋转j角的旋转变换例2阶方阵§2矩阵的运算

4、例某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．其中aij表示上半年工厂向第i家商店发送第j种货物的数量．其中cij表示工厂下半年向第i家商店发送第j种货物的数量．解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量一、矩阵的加法定义：设有两个m×n矩阵A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵A与B的和记作A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.知识点比较交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设A、B、C是同型矩阵设矩阵A=(aij)，记－A=(－aij)，称为

5、矩阵A的负矩阵．显然设工厂向某家商店发送四种货物各l件，试求：工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重量．例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．解：工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重量其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．二、数与矩阵相乘定义：数l与矩阵A的乘积记作lA或Al，规定为结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设A、B是同型矩阵，l,m是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.知识点比较其中aij表示工厂向第i家商店发送

6、第j种货物的数量．例（续）某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．试求：工厂向三家商店所发货物的总值及总重量．解：以ci1，ci2分别表示工厂向第i家商店所发货物的总值及总重量，其中i=1,2,3．于是其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量．其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．可用矩阵表示为一般地，一、矩阵与矩阵相乘定义：设，，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵，其中

7、并把此乘积记作C=AB．例：设则知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例P.35例5结论：矩阵乘法不一定满足交换律.矩阵，却有，从而不能由得出或的结论．矩阵乘法的运算规律(1)乘法结合律(3)乘法对加法的分配律(2)数乘和乘法的结合律（其中l是数）(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵lE与任何同阶方阵都是可交换的.纯量阵不同于对角阵(5)矩阵的幂若A是n阶方阵，定义显然思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立四、矩阵的转置定义：

8、把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作AT.例转置矩阵的运算性质例：已知解法1解法2定义：设A为n阶方阵，如果满足，即那么A称为对称阵.如果满足A=－AT，