资源描述:
《线性代数同济版 线代第五章.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章相似矩阵及二次型§1向量的内积、长度及正交性向量的内积定义:设有n维向量令[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn,则称[x,y]为向量x和y的内积.说明:内积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数.内积可用矩阵乘法表示:当x和y都是列向量时,[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy.定义:设有n维向量令则称[x,y]为向量x和y的内积.向量的内积[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy.内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,l为实数):对称性:[x,y]=[y,x].线性性质:[lx,y]=l[x,y].[x+y,z]=[x,z]+[y
2、,z]当x=0(零向量)时,[x,x]=0;当x≠0(零向量)时,[x,x]>0.施瓦兹(Schwarz)不等式[x,y]2≤[x,x][y,y].[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy.内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,l为实数):对称性:[x,y]=[y,x].[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy.内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,l为实数):对称性:[x,y]=[y,x].线性性质:[lx,y]=l[x,y].[x+y,z]=[x,z]+[y,z][x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy.内积具有下列性质(其中x,y
3、,z为n维向量,l为实数):对称性:[x,y]=[y,x].线性性质:[lx,y]=l[x,y].[x+y,z]=[x,z]+[y,z]当x=0(零向量)时,[x,x]=0;当x≠0(零向量)时,[x,x]>0.[x,x]=x12+x22+…+xn2≥0[x,y]=x1y1+x2y2+…+xnyn=xTy.内积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,l为实数):对称性:[x,y]=[y,x].线性性质:[lx,y]=l[x,y].[x+y,z]=[x,z]+[y,z]当x=0(零向量)时,[x,x]=0;当x≠0(零向量)时,[x,x]>0.施瓦兹(Schwarz)不等式[x,y]2
4、≤[x,x][y,y].回顾:线段的长度x1x2x1x2x3P(x1,x2)OPO若令x=(x1,x2)T,则若令x=(x1,x2,x3)T,则[x,x]=x12+x22+…+xn2≥0向量的长度定义:令称
5、
6、x
7、
8、为n维向量x的长度(或范数).当
9、
10、x
11、
12、=1时,称x为单位向量.向量的长度具有下列性质:非负性:当x=0(零向量)时,
13、
14、x
15、
16、=0;当x≠0(零向量)时,
17、
18、x
19、
20、>0.齐次性:
21、
22、lx
23、
24、=
25、l
26、·
27、
28、x
29、
30、.向量的长度定义:令称
31、
32、x
33、
34、为n维向量x的长度(或范数).当
35、
36、x
37、
38、=1时,称x为单位向量.向量的长度具有下列性质:非负性:当x=0(零向量)时,
39、
40、x
41、
42、
43、=0;当x≠0(零向量)时,
44、
45、x
46、
47、>0.齐次性:
48、
49、lx
50、
51、=
52、l
53、·
54、
55、x
56、
57、.三角不等式:
58、
59、x+y
60、
61、≤
62、
63、x
64、
65、+
66、
67、y
68、
69、.xyx+yy向量的正交性施瓦兹(Schwarz)不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]=
70、
71、x
72、
73、·
74、
75、y
76、
77、当x≠0且y≠0时,定义:当x≠0且y≠0时,把称为n维向量x和y的夹角.当[x,y]=0,称向量x和y正交.结论:若x=0,则x与任何向量都正交.xy定义:两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组.定理:若n维向量a1,a2,…,ar是一组两两正交的非零向量,则a1,a2,…,ar线性无关.证明:设k1a1+k2a2+…+krar
78、=0(零向量),那么0=[a1,0]=[a1,k1a1+k2a2+…+krar]=k1[a1,a1]+k2[a1,a2]+…+kr[a1,ar]=k1[a1,a1]+0+…+0=k1
79、
80、a1
81、
82、2从而k1=0.同理可证,k2=k3=…=kr=0.综上所述,a1,a2,…,ar线性无关.例:已知3维向量空间R3中两个向量正交,试求一个非零向量a3,使a1,a2,a3两两正交.分析:显然a1⊥a2.解:设a3=(x1,x2,x3)T,若a1⊥a3,a2⊥a3,则[a1,a3]=a1Ta3=x1+x2+x3=0[a2,a3]=a2Ta3=x1-2x2+x3=0得从而有基础解系,令.定义:n
83、维向量e1,e2,…,er是向量空间中的向量,满足e1,e2,…,er是向量空间V中的一个基(最大无关组);e1,e2,…,er两两正交;e1,e2,…,er都是单位向量,则称e1,e2,…,er是V的一个规范正交基.例:是R4的一个规范正交基.也是R4的一个规范正交基.是R4的一个基,但不是规范正交基.设e1,e2,…,er是向量空间V中的一个正交基,则V中任意一个向量可唯一表示为x=l1e1+l2e2+…+lrer于是特别地,若e1,e2,…,er是V