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《线性代数(同济版) 课后习题答案 第五章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五章相似矩阵及二次型1．试用施密特法把下列向量组正交化：æ111öç÷(1)(a1,a2,a3)=ç124÷；ç÷è139øæ11-1öç÷ç0-11÷(2)(a,a,a)=123ç-101÷ç÷ç÷è110ø解(1)根据施密特正交化方法:æ1öç÷令b1=a1=ç1÷，ç÷è1øæ-1ö[b,a]ç÷12b2=a2-[]b1=ç0÷，b,b11ç÷è1øæ1ö[b,a][b,a]1ç÷1323b3=a3-[]b1-[]b2=ç-2÷，b,bb,b31122ç÷è1øæ1öç1-1÷ç3÷ç2÷故正交化后得:(b,b
2、,b)=10-．123ç3÷ç1÷ç11÷è3øæ1öç÷ç0÷(2)根据施密特正交化方法令b=a=11ç-1÷ç÷ç÷è1ø1æ1öç÷[b1,a2]1ç-3÷b=a-b=22[b,b]13ç2÷11ç÷ç÷è1øæ-1öç÷[b1,a3][b2,a3]1ç3÷b=a-b-b=33[b,b]1[b,b]25ç3÷1122ç÷ç÷è4øæ11öç1-÷ç35÷ç3÷0-1ç5÷故正交化后得(b,b,b)=123ç23÷ç-1÷ç35÷14çç1÷÷è35ø2．下列矩阵是不是正交阵:æ11öæ184öç1-÷ç--÷ç2
3、3÷ç999÷ç11÷ç814÷(1)-1;(2)--．ç22÷ç999÷ç11÷ç447÷ç-1÷ç--÷è32øè999ø解(1)第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．(2)该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．3．设A与B都是n阶正交阵，证明AB也是正交阵．-1T-1T证明因为A,B是n阶正交阵，故A=A，B=BTTT-1-1(AB)(AB)=BAAB=BAAB=E故AB也是正交阵．4．求下列矩阵的特征值和特征向量:2æa1öæ123öç÷æ1-1öç÷ça2÷(1)çç÷÷;(2)ç213÷;
4、(3)ç÷(a1a2Lan)(,a1¹)0.è24øç÷çM÷è336øç÷èanø并问它们的特征向量是否两两正交?1-l-1解(1)①A-lE==(l-2)(l-)324-l故A的特征值为l=,2l=3．12②当l=2时,解方程(A-2E)x=0,由1æ-1-1öæ11öæ-1ö(A-2E)=ç÷~ç÷得基础解系P=ç÷÷ç÷ç÷1çè22øè00øè1ø所以kP(k¹)0是对应于l=2的全部特征值向量．1111当l=3时,解方程(A-3E)x=0,由2æ1öæ-2-1öæ21öç-÷(A-3E)=ç÷~ç÷得基础解
5、系P=ç21÷ç00÷2ç2÷èøèøè1ø所以kP(k¹)0是对应于l=3的全部特征向量．2223æ1öTç-÷3③[P,P]=PP=(-)1,1=¹01212ç2÷2è1ø故P,P不正交．121-l23(2)①A-lE=21-l3=-l(l+1)(l-)9336-l故A的特征值为l=,0l=-,1l=9．123②当l=0时，解方程Ax=0，由1æ123öæ123öæ-1öç÷ç÷ç÷A=ç213÷~ç011÷得基础解系P1=ç-1÷ç÷ç÷ç÷è336øè000øè1ø故kP(k¹)0是对应于l=0的全部特征值向量
6、.1111当l=-1时,解方程(A+E)x=0，由2æ223öæ223öæ-1öç÷ç÷ç÷A+E=ç223÷~ç001÷得基础解系P2=ç1÷ç÷ç÷ç÷è337øè000øè0ø3故kP(k¹)0是对应于l=-1的全部特征值向量2222当l=9时，解方程(A-9E)x=0，由3æ1öç÷æ-823öæ11-1öç2÷ç÷ç1÷ç1÷A-9E=ç2-83÷~ç01-÷得基础解系P3=ç÷ç÷ç2÷ç2÷è33-3øè000øç÷ç÷è1ø故kP(k¹)0是对应于l=9的全部特征值向量．3333æ-1öç÷T③[P1,
7、P2]=P1P2=(-,1-)1,1ç1÷=0，ç÷è0øæ1öç÷ç2÷Tç1÷[P,P]=PP=(-)0,1,1=0，2323ç2÷ç÷ç÷ç÷è1øæ1öç÷ç2÷1[P,P]=PTP=(-,1-)1,1ç÷=0，1313ç2÷ç÷ç1÷èø所以P,P,P两两正交．1232a-laaLaa1121n2aaa-lLaa2122n(3)A-lE=MMOM2aaaaLa-ln1n2nnn-1222=l-l(a+a+L+a)12nn-1222=l[l-(a+a+L+a)]12nn2222l1=a1+a2+L+an=åa
8、i,l2=l3=L=ln=0i=1n2当l1=åai时，i=14(A-lE)222æ-a-a-L-aaaLaaöç23n121n÷222ça2a1-a1-a3-L-anLa2an÷=ç÷MMOMç÷ç222÷aaaaL-a-a-L-aèn1n212n-1øæan0L0-a1öç÷初等行变换ç0anL0-a2÷~çMMOMM÷ç÷ç
