线性代数 同济大学课件 第二章.ppt

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1、1第二章矩阵及其运算2§1矩阵线性方程组与矩阵的对应关系34简记为其中数称为的第i行第j列的元素,的(i,j)元素。5同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。矩阵相等：6一些特殊的矩阵零矩阵(ZeroMatrix):注意：不同阶数的零矩阵是不相等的.元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.7行矩阵(RowMatrix):列矩阵(ColumnMatrix):只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量)8方阵(SquareMatrix):是3阶方阵.行数与列数都等于n的矩阵，称为n阶方阵(或n阶矩阵),记作An9对角阵(Di

2、agonalMatrix):主对角线以外的元素都为零的方阵。10数量矩阵(ScalarMatrix):主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零的方阵。11单位矩阵(IdentityMatrix):主对角元素全为1，其余元素都为零的方阵。记作:12例3：从变量到变量的线性变换.其中为常数.13线性变换与矩阵之间的对应关系.恒等变换单位阵14§2矩阵的基本运算一、矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵A与B的和记作A+B，规定为定义215注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.16负矩阵：称为矩阵A的负矩阵。17矩阵加法满足的运算规律:18二、数与矩阵相乘

3、定义31920数乘矩阵满足的运算规律：矩阵相加与数乘矩阵运算合起来,又称为矩阵的线性运算.设A,B为m×n矩阵，l,m为数21定义4并把此乘积记作C=AB三、矩阵与矩阵相乘设是一个m×s矩阵，是一个s×n矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵，其中ss2223例：2425261.矩阵乘法不满足交换律注意：设A左乘BB右乘A272.矩阵乘法不满足消去律设但注意：2829矩阵乘法满足的运算规律：30若A是n阶方阵，则为A的次幂，即方阵的幂：并且31方阵的多项式：32例.设求3334四.矩阵的转置定义:把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的

4、转置矩阵，记作.例:35转置矩阵满足的运算规律：36例5：已知37解1：38解2：39对称阵的元素以主对角线为对称轴。对称阵:设A为n阶方阵，如果满足，即那末A称为对称阵.40反对称阵:设A为n阶方阵，若满足，即则称A为反对称阵.显然,反对称阵的主对角元都是零。41例注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵42五、方阵的行列式定义：由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作

5、A

6、或detA43运算规律：注：虽然但44定义：行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵A的伴随矩阵.4546性质：47§3逆矩阵定义：设A是n阶矩阵，若存在n阶

7、矩阵B使AB=BA=E则称A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，48若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。记A的逆矩阵为49定理1:证明：n阶方阵A可逆充要条件是

8、A

9、！=0,且当A可逆时,A可逆,存在B,使得AB=E于是

10、A

11、

12、B

13、=

14、E

15、=1,即

16、A

17、≠050若

18、A

19、＝0,则称A为奇异矩阵(退化矩阵)若

20、A

21、≠0,则称A为非奇异矩阵(非退化矩阵)

22、A

23、≠0,2021/10/451推论：证明：52方阵A的逆矩阵的求法:53例如,54例55例5657可逆矩阵的运算规律:58注：5960例：61解6263于是64例：解方程65解：方程两端左乘矩阵66方程两端右乘矩

24、阵67例：设解方程解：6869例：所以A可逆，且证：70所以可逆，71例：设Ax=b,A是n阶可逆阵,72§4矩阵的分块法矩阵的分块法是讨论矩阵时一种有效的手段。具体做法是：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的一个子块，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵.73例：7475分块矩阵的运算规则76777879808182(一)分块对角矩阵的行列式具有下述性质:83(三)84例：设85解:86则87又88于是89例：设解：9091(1)加法:(2)数乘:(3)乘法:分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。9293