2014年全国高中数学联赛模拟卷.docx

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1、2014年全国高中数学联赛模拟卷(8)第一试(考试时间：80分钟满分：120分)一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分，直接将答案写在横线上。1.已知集合，,，且，则整数对的个数为________________2.若，则___________3.四面体中，平面与平面成的二面角，则点到平面的距离为．4.设直线与曲线有三个不同的交点,,则的方程为_______5.已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是6.若则___________7.平面直角坐标系中，M(－1，2)，N(1，4

2、)，P在x轴上移动，当∠MPN最大时,P坐标为____8.九个连续正整数自小到大排成一个数列，若的值为一平方数，的值为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是．二、解答题（本大题共3小题，共56分,解答应写出文字说明，演算过程或证明步骤）9．（本题满分16分）数列满足：；令；求10.（本题满分20分）已知抛物线的顶点在原点，焦点为，.（1）过点斜率为1的直线交于两点，若关于原点对称点为.求的最大值.（2）过点斜率为的直线交于两点，若轴上是否存在一点，使与轴所成的锐角相等，求坐标.11.（本题满分20分）设函数，其中，b为任意常数。证明：当时，有1.30

3、解：；。要使，则，即。所以数对共有2.解：由，所以。3.解：，作平面，垂足为，连，由三垂线逆定理，，所以，故，，又因为正方形，，则，因此正三角形的面积为，设到平面的距离为，由，得4.解：曲线关于（0,1）点对称，设直线方程为，则。所求直线方程为。5.(2n+2－n－3)．解：=+，Þ令bn=+，得b0=，bn=2bn－1，Þbn=´2n．即=，Þ=(2n+2－n－3)．6.解;，所以。7.(1,0)解：当∠MPN最大时，⊙MNP与x轴相切于点P(否则⊙MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P¢使∠MP¢N更大)．于是，延长NM交x轴于K(－3，0)，

4、有KM·KN=KP2，ÞKP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP的半径小，从而点P(1,0)8.解：设这九数为，则有，，，，则，得①令，得，所以，再取，，化为，取，可使左式成立，这时，，．9.解：改写条件式为，则，所以，；；．10.解：（1）由条件知，抛物线C的方程为，直线的方程为，点Q的坐标为．由得，．①由①，得．设,则,．又因为点到直线的距离，所以△QAB的面积，其中.记，则．所以，当时，,当时，．所以，在区间上为减函数．所以时，取最大值．因此，△QAB面积的最大值为．(2)方程为,由得，．②设,则．．设点T存在，其坐标为．由

5、TM、TN与轴所成的锐角相等知，，即，即，，所以．因此，符合条件的点T存在，其坐标为11.证：已知，所以为其极小值点，此时，而.（5分）1）；此时有.(i)当时，；（此不等式显然成立）于是有。(ii)当时，；此时同样有。于是有。(iii)当时，，此时考虑于是有。（10分）2)；此时有。由于，所以。于是有。3）；此时有。由于，所以。于是有。当时，；当时，。综合1），2），3），有当时，有。（20分）