2017全国高中数学联赛模拟试题（卷）

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1、2017暑期培训课程-联赛模拟试卷________班_______号姓名________________第一试一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1．不等式的解集是．答案：解：设，，则原不等式化为，即．结合得，于是．2．设为方程的一个虚根，则．答案：解：由题意知，又为方程的一个虚根，故，所以，即．而．3．设，且，则的最小值为．答案：解：令，由，知，则方程可化为，即，解得（舍去）．从而，所以，当且仅当，时取等号．4．在中随机选取三个数，从小到大排列后能构成等差数列的概率是．答案：解：设选取的三个数为，

2、由知．对于给定的，可取，共种选择．因此，对所有满足条件的，三数从小到大排列后能构成等差数列的个数为．所以，三数从小到排列后能成等差数列的概率为．5．已知某四面体的四个面都是边长为，，的三角形，则以该四面体六条棱的中点为顶点的八面体的体积是．答案：解：如图，矩形中，，，，容易验证四面体满足条件，此时，四面体六条棱的中点为顶点的八面体是．又易得，所以．6．锐角、、满足，则的值是．答案：解：由已知得，整理得，即，又、、为锐角，所以，，从而，又，所以，即．7．已知椭圆的左右焦点分别为与，点在直线上．当取最大值时，与的比

3、值等于．答案：解：由平面几何知，要使最大，则过，，三点的圆必定与直线相切于点．直线交轴于，则，即，从而……①又由圆幂定理，……②，而，，，从而有，．代入①、②得，．8．若形如的五位数满足：、、均能被37整除，则满足条件的五位数的个数是．答案：解：注意到，．设，，．则，，．由于且，则若、、中有一个被整除，则其余两个也被整除．因此，所有满足题意的的个数（即相应的的个数）为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）证明：为直角三角形的充分必要条件是．证明：（

4、必要性）不妨设，．则．（充分性）证法一：若，则正弦定理得．故，即．因此，．同理，．若、、均为正，则……①，，．由①得．因此，．矛盾．又由、、均非负，知、、中有一个为．证法二：．由、、均非负，知、、中有一个为，其所对应的角为直角．10．（本题满分20分）求所有的函数，对于所有整数，满足，……①且．解：将代入式①得．由此得或．先考虑的情形．将代入式①得，即．所以，，，．另一方面，将代入式①得．此时，对于推出的情形不成立．因此，不可能．再考虑的情形．用代替代入式①得对所有的成立．取，得．故对任一整数有．所以，此函数为

5、偶函数．如前所述，将代入式①得．若为正整数，则由数学归纳法可证明，对所有的正整数，有是唯一的解（唯一是因为每个函数值取决于先前的两个值）．因为函数为偶函数，所以，对于任意的整数，有，且是满足式①的唯一函数．11．（本题满分20分）在抛物线的图像上内接一个梯形，其中，，．对角线与交于点，设点到底边、的中点的线段长分别为、．求梯形的面积．解：如右图，由题意知．设，．则，．从而，，，．由、分另为边、的中点得，．而为梯形对角线的交点，易知、、三点共线（如可用塞瓦定理证明），即，且轴．令表示（或）与轴正向的夹角．于是，．

6、过点作．则．所以，，，．则．设．则，．故，．则，．故．加试一、（本题满分40分）设均为正实数，求的最小值．解：由知，同理，，所以；又（柯西不等式）所以的最小值为，当且仅当时取等号．二、（本题满分40分）已知的内心为，三个内角的角平分线分别为、、，线段的中垂线分别与、交于点、．证明：、、、四点共圆．证明：要证、、、四点共圆，只需证：．如图，设线段的中点为，则下面只需再证设的外接圆与线段中垂线的交点为（位于不包含点的弧上）．于是．从而，．这表明，点位于的角平分线上。因而，点与重合．所以，、、、四点位于同一圆周上．故

7、．从而，、、、四点共圆．三、（本题满分50分）组合在座城市之间有两种方式的飞行航线被执行：任意一座城市至少和七座城市有直航；任意两座城市可以通过有限次直航来连接．求最小的整数，使得无论如何安排满足条件的航线，任意一座城市到任意其他城市最多可以经过次直航到达．解：．首先证明：．若，不妨设有两座城市、间至少经过次到达．设城市到的一个最短连接路线为．因为每一座城市至少和七座城市有直航连接，所以城市与与除以外至少六座城市有直航连接，与除以外至少五座城市有直航连接．设，分别与城市、、、、、、、、、有直航连接，且不属于城市

8、的所有城市组成的集合为．易知，，，．又，否则，城市、之间有更短连接路线．故，矛盾．所以，．其次证明：．对，取座城市与城市集合．当时，；当时，，且对，，中不包括城市．对，城市、、与集合中的所有城市有直航连接；城市、集合与中所有城市有直航连接；城市、与集合中所有城市有直航连接；集合中任意一座城市除与上述的城市有直航连接，与且仅与集合中其余城市有直航连接；城市与有直航连接．这样，城市至少与七