2017年全国高中数学联赛模拟试题04

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1、2017年全国高中数学联赛模拟试题04第一试（时间：8:00-9:20满分：120）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.集合与恰有一个公共元为正数，则．2.若函数在区间上递增，则的取值范围是___________.3.已知，且，则的最大值为________.4.在单调递增数列中，已知，，且，，成等差数列，，，成等比数列，.那么，_________.5.已知点是空间直角坐标系内一定点，过作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于三点，则所有这样的四面体的体积的最小值为．6.在中，角的对边为，，，又知，则的面积为．7.已知过两抛物线，的交

2、点的各自的切线互相垂直，则实数a的值为．8.若整数既不互质，又不存在整除关系，则称是一个“联盟”数对；设是集的元子集，且中任两数皆是“联盟”数对，则的最大值为．二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）设数列满足．求证：（1）当时，严格单调递减．（2）当时，，这里．10.（本小题满分20分）设椭圆与抛物线有一个共同的焦点，为它们的一条公切线，、为切点，证明：．11.（本小题满分20分）求证：（1）方程恰有一个实根，并且是无理数；（2）不是任何整数系数二次方程的根．2017年全国高中数学联赛模拟试题04加试（时间：9:40-1

3、2:10满分：180）一、（本小题满分40分）如图，在锐角中，、分别是边、的中点，的外接圆与的外接圆交于点（异于点），的外接圆与的外接圆交于点（异于点）。求证：.二、（本小题满分40分）求所有素数，使得三、（本小题满分50分）设n是一个正整数，是4n－1个正实数，使得．令，证明：．四、（本小题满分50分）n个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局．规定胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分．如果赛后发现任何m个棋手中都有一个棋手胜了其余m－1个棋手，也有一个棋手输给了其余m－1个棋手，就称此赛况具有性质P（m）．对给定的m（m≥4），求n的最小

4、值f（m），使得对具有性质P（m）的任何赛况，都有所有n名棋手的得分各不相同．2017年全国高中数学联赛模拟试题04第一试参考解答一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.集合与恰有一个公共元为正数，则．解：由于，故．由知，又因为，所以即故只能是，这样，，得2.若函数在区间上递增，则的取值范围是___________.解：（ⅰ）当时，只需，解得.（ⅱ）当时，只需，解得.综上，的取值范围是.3.已知，且，则的最大值为________.解：因为，，所以，.所以，的最大值为.4.在单调递增数列中，已知，，且，，成等差数列，，，成等比数列，

5、.那么，_________.解：因为单调递增，，所以.因为，，成等差数列，，，成等比数列，所以.因为，所以，数列是等差数列.易得，，所以.所以，，.5.已知点是空间直角坐标系内一定点，过作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于三点，则所有这样的四面体的体积的最小值为．解：设此平面的方程为，分别是该平面在轴上的截距，又点在平面内，故，由于，即，得．当，即时，的最小值为45．6.在中，角的对边为，，，又知，则的面积为．解法1：由等比定理得，故，即．因为，又根据知，所以，从而，于是，，．解法2：在边内取点，使，则．由条件及余弦定理得，，进一步有，因此，，所

6、以．7.已知过两抛物线，的交点的各自的切线互相垂直，则实数a的值为．解：联立曲线的方程，求得交点坐标为，由对称性，不妨只考虑交点处切线是否垂直：在点A局部，所对应的解析式分别为，．对求导得，对求导得，故两条曲线在点A处的斜率分别为与，它们垂直当且仅当，解得．8.若整数既不互质，又不存在整除关系，则称是一个“联盟”数对；设是集的元子集，且中任两数皆是“联盟”数对，则的最大值为．解：称这种子集为“联盟子集”；首先，我们可构造一个联盟子集，其中具有个元素．为此，取，以下证，就是的最大值．今设是元素个数最多的一个联盟子集，，若是集中的最小数，显然，如果

7、，则得，即，显然，（因与有整除关系）．今在中用替代，其它元素不变，成为子集，则仍然是联盟子集，这是由于对于中异于的任一元素，因与不互质，故与也不互质；再说明与没有整除关系：因，则；又若，设，（显然，否则有整除关系），则，于是，这与的最小性矛盾！因此仍然是联盟子集，并且仍是元集；重复以上做法，直至子集中的元素皆大于为止，于是得到元联盟子集，其中．即，因任两个相邻整数必互质，故在这个连续正整数中至多能取到个互不相邻的数，即．又据前面所述的构造可知，的最大值即为．二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）设数列满足．求证：（1）当

8、时，严格单调递减．（2）当时，，这里．解：（1）由及归纳法易得，且均为有理数…………4分当时，由均值不等式得，，又因为均为有理数，故当时从而，所以当时