2017年全国高中数学联赛模拟试题01

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1、2015年全国高中数学联赛模拟试题01第一试一、填空题：本人题共8小题，每小题8分，共64分.2兀+71•设Z（x）=——，几©）=久（九⑴），兀H—2kh—3，则心门（2014）=•兀+32.设A=（・2,4）,B={xx2^ax-i4=0,xQR}.若ARB的非空了集个数为1,则实数Q的取值范围是•x>0,3.设R是满足y>0,的点（x,y）构成的区域，则区域R的面积为・（其中卜］表示不超过实x+y+［兀］+［刃<5数兀的授大整数）.4.二元断数f（xyy）=Jcos4x+7+Jcos4y+7+Jcos4x+cos4y-8sir?xsi

2、i?y+6的最大值为5.己知B是双Illi线C:2x2・4y2+1=0上靠近点A（0,m）（m>1）的一个顶点.若以点A为圆心，

3、佔

4、长为半径的圆与双线C交于3个点,则加的取值范围是.3亠36.叩、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，卬赢的概率为2,第偶数局，乙赢的概率为2•每一局没冇平局,44规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多2次时游戏结束.则游戏结束时，甲乙两人玩的局数的数学期望为.7.设五边形ABCDE满足ZA=ZB=ZC=ZD=20°，则ACBD的最小值为AEED&过止四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截

5、面少底面BCD所成的角为75°.这样的截面共可作出个•二、解答题：本大题共3小题，共56分.9.（本小题满分16分）.试求实数a的取值范围，使得2是不等式兀+1喝（2'-3°）>2的最小整数解.l+log2a10.（本小题满分20分）、数列{陽}虑1定义为qT，勺=4,an=y］an_{an+［+1{n>2）.⑴求证：数列{%}涸为整数列:（2）求证：2%］+1（心）是完全平方数.11.（竺题满些0分）已知S,P（半兰点彎也物线y二/上不同的两点，点P处的切线分别交x,y轴于Q,R.（1）若甩二APR,求2的值；（2）若亍丄莎，求△PSR面积

6、的最小值.2015年全国高中数学联赛模拟试题01加试一、（木小题满分40分）一、如图，设A为□o1,no2的一个交点，直线/切□O.分别于B,C,q23n（木小题满分50分）试求所有的正整数农,使得存在正整数数列Q]＜。2V…＜陽使得和aiyraj(

7、字小于第三边上的数字.试求加的最小值.2015年全国高中数学联赛模拟试题01第一试一、填空题：木人题共8小题，每小题8分，共64分.2兀+71•设爪兀）—，£+d（£d）），兀H—2,兀H—3，则厶阴（2014）兀+3解：2014.注意到fl(x)=-2——,/；(%)=-21=—3———x+32

8、3x+2x+3厶⑴=-3i-——".故心3（2014）=乙（2014）=2014.-2-一+2x+32.设A=（-2,4）,B={xx2+ax+4=0,xQR}.若的非空子集个数为1,则实数Q的取值范围是.解：由已知得恰含一个元索•.设/（兀）=

9、甘+俶+4,分以下情况讨论：（1）若D=a2-16=0,则q=口4,但是当q=4吋，f（x）的零点・2□A,故应舍去，而a=-4经验证满足条件；（2）若D>0,则根据二次函数图像性质，必有/（-2）/（4）□0,即（8・26/）（204-4^）00,解得/4或5,但d=4应舍去，而。=・5经验证满足条件.综上所述，有a?（?,5］U{・4}U（4,+口）.x>0,.（其屮［x］表示不超过实的点（X,）0构成的区域,则区域R的面积为3.设R是满足0,x+y+[x]+[y]<5数兀的最大整数).o解：一•一方面，当x+y<3时，冇[x]+[y]<

10、x+y<3，贝ij[x]+[y]<2,满足x+y+[兀]+[打55；另—方面,当x+y>3时,有[兀]+[y]+{%}+{y}>3,而{兀}+{歹}<2,则[%]+[y]>1,从而[x]+[y]>2,O于是兀+丿+[x]+[刃〉5,这与条件矛盾.故区域R的面积为一•4.二元函数/(x,y)=Jcos4兀+7+Jcos4y+7+^cos4x+cos4y-8sin2xsin2y+6的最大值为.解：6a/2.设cos2x=afcos2y=bt则05%W1./=2血(Ja，-d+l+Jb，-b+l+Ja?-db+戻)由0

11、2-a+<1,同理lb2-b+<1,y]a2-ab+b2