高三数学第一轮复习函数与导数.ppt

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1、第十一节变化率与导数、导数的计算[主干知识梳理]一、导数的概念1.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率(2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点处的(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为.(x0,f(x0))切线的斜率y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f′(x)=f(x)=xn(n∈Q*)f′(x)=f(x)=sinxf′(x)=f(x)=cosxf′(x)=f(x)=axf′(x)=0

2、nxn-1cosx-sinxaxlna4.复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=,即y对x的导数等于的与的导数的乘积.yu′·ux′y对u导数u对x4.函数y=xcosx-sinx的导数为________.解析y′=(xcosx)′-(sinx)′=x′cosx+x(cosx)′-cosx=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.答案-xsinx5.(2014·湖北黄冈一模)已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),则f′(0)=__________.解析f′(x)=(x-1)(x

3、-2)(x-3)(x-4)(x-5)+x[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)]′,∴f′(0)=(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)=-120.答案-120[关键要点点拨]1.函数求导的原则对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.2.曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切点,切线斜率为k=f′(x

4、0)的切线,是唯一的一条切线.(2)曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.利用导数的定义求函数的导数导数的运算[规律方法]求导时应注意:(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量.(2)对于商式的函数若在求导之前变形,则可以避免使用商的导数法则,减少失误.(3)复合函数求导的关键是分清函数的复合形式,其导数为两层导数的积,必要时可换元处理.[典题导入](2014·济南模拟)已知函数f(x)=mx3+2nx2-12x的减区间是(-2,2).(1)试求m、n的值;(2)过点A(1,t

5、)是否存在与曲线y=f(x)相切的3条切线,若存在,求实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.导数的几何意义[互动探究]在本例条件下,求过点A(1,-11)且与曲线y=f(x)相切的切线方程.解析由例3知m=1,n=0.∴f(x)=x3-12x.∴f′(x)=3x2-12,∵f(1)=13-12×1=-11,∴当A为切点时,k=f′(1)=-9.∴切线方程为9x+y+2=0.当A不为切点时,设切点P(x0,f(x0)),∴k=f′(x0)=3x-12.[跟踪训练]3.(1)(2012·新课标全国卷)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________.解析y′=

6、3lnx+1+3,所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4,所以切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.答案y=4x-3(2014·上海徐汇摸底)已知函数f(x)=x3-3x,过点P(-2,-2)作曲线y=f(x)的切线,则切线的方程为__________.【错解】由f(x)=x3-3x知f′(x)=3x2-3,∴k=f′(-2)=3×4-3=9.∴切线方程为y+2=9(x+2),∴y=9x+16.【创新探究】忽视判断点是否为切点而致误【错因】上述解法中易认为P(-2,2)是曲线切线的切点,从而导致解答中缺少一种解的可能性.【解析】①当P(-2,-2)为切点时,切线方程为y

7、=9x+16;②当P(-2,-2)不是切点时,设切点为(a,b),则b=a3-3a,由于y′=3x2-3,所以切线的斜率k=3a2-3,【高手支招】求曲线的切线方程时要注意过某点的切线问题中此点不一定是切点,此点也可能不在曲线上,所以要先判断再去解决,切忌盲目地认为给出点就是切点.课时作业

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