高三数学第一轮复习函数与导数.ppt

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1、第十一节变化率与导数、导数的计算[主干知识梳理]一、导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点处的(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为．(x0，f(x0))切线的斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝axf′(x)＝0

2、nxn－1cosx－sinxaxlna4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝，即y对x的导数等于的与的导数的乘积．yu′·ux′y对u导数u对x4．函数y＝xcosx－sinx的导数为________．解析y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.答案－xsinx5．(2014·湖北黄冈一模)已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝__________．解析f′(x)＝(x－1)(x

3、－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.答案－120[关键要点点拨]1．函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x

4、0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．利用导数的定义求函数的导数导数的运算[规律方法]求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．(3)复合函数求导的关键是分清函数的复合形式，其导数为两层导数的积，必要时可换元处理．[典题导入](2014·济南模拟)已知函数f(x)＝mx3＋2nx2－12x的减区间是(－2，2)．(1)试求m、n的值；(2)过点A(1，t

5、)是否存在与曲线y＝f(x)相切的3条切线，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．导数的几何意义[互动探究]在本例条件下，求过点A(1，－11)且与曲线y＝f(x)相切的切线方程．解析由例3知m＝1，n＝0.∴f(x)＝x3－12x.∴f′(x)＝3x2－12，∵f(1)＝13－12×1＝－11，∴当A为切点时，k＝f′(1)＝－9.∴切线方程为9x＋y＋2＝0.当A不为切点时，设切点P(x0，f(x0))，∴k＝f′(x0)＝3x－12.[跟踪训练]3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．解析y′＝

6、3lnx＋1＋3，所以曲线在点(1，1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3.答案y＝4x－3(2014·上海徐汇摸底)已知函数f(x)＝x3－3x，过点P(－2，－2)作曲线y＝f(x)的切线，则切线的方程为__________．【错解】由f(x)＝x3－3x知f′(x)＝3x2－3，∴k＝f′(－2)＝3×4－3＝9.∴切线方程为y＋2＝9(x＋2)，∴y＝9x＋16.【创新探究】忽视判断点是否为切点而致误【错因】上述解法中易认为P(－2，2)是曲线切线的切点，从而导致解答中缺少一种解的可能性．【解析】①当P(－2，－2)为切点时，切线方程为y

7、＝9x＋16；②当P(－2，－2)不是切点时，设切点为(a，b)，则b＝a3－3a，由于y′＝3x2－3，所以切线的斜率k＝3a2－3，【高手支招】求曲线的切线方程时要注意过某点的切线问题中此点不一定是切点，此点也可能不在曲线上，所以要先判断再去解决，切忌盲目地认为给出点就是切点．课时作业