§442空间图形的公理.doc

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1、§44.2空间图形的公理一.教学内容：空间图形的基本关系与公理 二.学习目标：1、学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握空间图形的有关概念和有关定理；掌握平面的基本性质、公理4和等角定理；2、培养和发展自己的空间想象能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力、通过典型例子的学习和自主探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴涵在其中的数学思想方法；3、培养严谨的思维习惯与严肃的科学态度；体会推理论证中反映出的辩证思维的价值观。 三、知识要点（一）空间位置关系：I、空间点与线的关系空间点与

2、直线的位置关系有两种：点P在直线上：；点P在直线外：； II、空间点与平面的关系空间点与平面的位置关系有两种：点P在平面上：点P在平面外：； III、空间直线与直线的位置关系： IV、空间直线与平面的位置关系： V、空间平面与平面的位置关系：平行；相交7说明：本模块中所说的“两个平面”“两条直线”等均指不重合的情形。 （二）异面直线的判定1、定义法：采取反证法的思路，否定平行与相交两种情形即可；2、判定定理：已知P点在平面上，则平面上不经过该点的直线与平面外经过该点的直线是异面直线。 （三）平面的基本性质公理1、

3、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内，或曰平面经过这条直线）。2、公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即确定一个平面）。3、公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点的公共直线。4、平面的基本性质公理的三个推论经过直线和直线外一点，有且只有一个平面；经过两条相交直线，有且只有一个平面；经过两条平行直线，有且只有一个平面思考：公理是公认为正确而不需要证明的命题，那么推论呢？平面的基本性质公理是如何刻画平面的性质的

4、？ （四）平行公理（公理4）：平行于同一条直线的两条直线平行。 （五）等角定理：空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 （六）空间四边形：顺次连接不共面的四点构成的图形称为空间四边形。 【典型例题】考点一 空间点线面位置关系的判断：主要判断依据是平面的基本性质公理及其推论，平行公理、等角定理等相关结论。7例1.下列命题：空间不同的三点可以确定一个平面；有三个公共点的两个平面必定重合；空间中两两相交的三条直线可以确定一个平面；④平行四边形、梯形等所有的四边形都是平面图形；⑤两组对边分别相等

5、的四边形是平行四边形；⑥一条直线和两平行线中的一条相交，必定和另一条也相交。其中正确的命题是                                         。解：⑥。 例2.空间中三条直线可以确定几个平面？试画出示意图说明。解：0个、1个、2个或3个。分别如图（图中所画平面为辅助平面）： 考点二 异面直线的判断：主要依据是异面直线的定义及判定定理。例3.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条线段所在的直线是异面直线的有__________对，分别是___

6、_________________？解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。 考点三 “有且只有一个”的证明：一般地，此类题型的证明需要分为两个步骤，分别证明“有”即存在性和“只有一个”即唯一性。7例4.求证：过两条平行直线有且只有一个平面。已知：直线a∥b。求证：过a，b有且只有一个平面。证明：存在性：由平行线的定义可知，过平行直线a，b有一个平面。唯一性（反证法）：假设过a，b有两个平面。在直线上任取两点A、B，在直线b上任取一点C，则A、B、C三点不共线。由于这两个平面都过直线a，b，因此由公理

7、1可知：都过点A、B、C。由平面的基本性质公理2，过不共线三点的平面唯一存在，因此重合，与假设矛盾。矛盾表明：过平行直线a，b只有一个平面。综上所述：过a，b有且只有一个平面。考点四 共点的判断与证明：此类题型主要有三线共点和三面共点。例5.三个平面两两相交有三条交线，求证：三条交线或平行，或交于一点。已知：平面，求证：a∥b∥c或者a，b，c交于一点P。证明：因为，故a，b共面。I、若a∥b：由于，故，因直线，故a，c无公共点。又a，c都在平面内，故a∥b；故a∥b∥c。II、若，则，故知综上所述：命题成立。说

8、明：证明三点共线的问题的常用思路是先证两条直线相交，然后再证该交点在第三条直线上；证明交点在第三条直线上常证明该点是两个相交平面的公共点，从而在这两个平面的交线上即在第三条直线上。 考点五 共线的判断与证明：常见题型是三点共线。例6.如图，O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点，求证：O1、M、A三点共线。