高等数学习题课[1].ppt

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1、定积分习题课一、主要内容问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程定积分存在定理广义积分定积分的性质牛顿-莱布尼茨公式定积分的计算法二、内容提要1定积分的定义定义的实质几何意义物理意义2可积和可积的两个充分条件3定积分的性质线性性可加性非负性比较定理估值定理积分中值定理积分中值公式若M和m是变上限定积分及其导数牛顿—莱布尼茨公式定积分的计算法（1）换元法换元积分公式（2）分部积分法分部积分公式微积分基本公式利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算广义积分(1)无穷限的广义积分(2)无界函数的广义积分三、典型例题例1解

2、例2广义积分中值定理设f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]上可积，且不变号，则证因f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在[a,b]上必取得最大值M和最小值m，又g(x)在[a,b]上不变号故不妨设若则由上式知可取[a,b]内任一点若由介值定理例3证明证一由广义积分中值定理证二例4求极限证三解①②如果能把数列的通项写成的形式就可以利用或把数列极限问题转化为定积分的计算问题与数列的极限有着密切联系由以上两例可见，连续函数f(x)的定积分解例5解是偶函数,例6证明Cauchy-Schwarz不等式证例7记则另证定积分不

3、等式的证明方法——辅助函数法①将一个积分限换成变量，移项使一端为0另一端即为所求作的辅助函数F(x)②判定单调性，与端点的值进行比较即得证例8设求解这是型未定式的极限解由L’Hospital法则a=0或b=1将a=0代入知不合题意故b=1例9试确定a,b的值使证明证一由定积分的定义（因f(x)是凸函数）证二记则a>0例10设上凸故其上任一点的切线都在曲线的上方在x=a处的切线方程为证三易证明当t>0时有或又曲线例11设f(x)在[a,b]上连续且f(x)>0证明令则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导即F(x)单调增

4、设则由介值定理得即证解例12例13设f(x)在[0,1]上连续，且单调不增证明对任何有证一由积分中值定理再由f(x)单调不增证二则F(1)=0再由f(x)单调不增证三证四证五由f(x)单调不增例14计算解一=0=0解二由定积分换元法知例15证明方程在(0,1)内至少有一根证则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导由Rolle定理在(0,1)内至少有一根例16已知周期为L的函数在上是连续的奇函数，证明也是以L为周期的函数证一对称区间上奇函数的积分证二例18设f(x),g(x)在[a,b]上连续，证明证关键在于作出辅助函数

5、F(x)则F(a)F(b)的符号不易判别，得不出结论两边积分得则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导且F(a)=F(b)=0由Rolle定理知注：辅助函数法证明定积分等式——主要适用于证明在积分限中至少存在一点使等式成立的命题①移项使一端为0另一端即为②验证F(x)满足介值定理或Rolle定理