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1、卡方分布拟合检验在前面的课程中，我们已经了解了假设检验的基本思想，并讨论了当总体分布为正态时，关于其中未知参数的假设检验问题.然而可能遇到这样的情形，总体服从何种理论分布并不知道，要求我们直接对总体分布提出一个假设.如，某钟表厂对生产的钟进行精确性检查，抽取100个钟作试验，拨准后隔24小时以后进行检查，将每个钟的误差（快或慢）按秒记录下来.问该厂生产的钟的误差是否服从正态分布？再如，某工厂制造一批骰子，声称它是均匀的.为检验骰子是否均匀，要把骰子实地投掷若干次，统计各点出现的频率与1/6的差距.也就是说，在投掷中，出现1点，2点，…
2、，6点的概率都应是1/6.得到的数据能否说明“骰子均匀”的假设是可信的？问题是：K.皮尔逊这是一项很重要的工作，不少人把它视为近代统计学的开端.解决这类问题的工具是英国统计学家K.皮尔逊在1900年发表的一篇文章中引进的所谓检验法.检验法是在总体X的分布未知时，根据来自总体的样本，检验关于总体分布的假设的一种检验方法.H0：总体X的分布函数为F(x)然后根据样本的经验分布和所假设的理论分布之间的吻合程度来决定是否接受原假设.使用对总体分布进行检验时，我们先提出原假设:检验法这种检验通常称作拟合优度检验，它是一种非参数检验.在用检验假设
3、H0时，若在H0下分布类型已知，但其参数未知，这时需要先用极大似然估计法估计参数，然后作检验.检验法分布拟合的的基本原理和步骤如下:检验法3.根据所假设的理论分布,可以算出总体X的值落入每个Ai的概率pi,于是npi就是落入Ai的样本值的理论频数.1.将总体X的取值范围分成k个互不重迭的小区间,记作A1,A2,…,Ak.2.把落入第i个小区间Ai的样本值的个数记作fi，称为实测频数.所有实测频数之和f1+f2+…+fk等于样本容量n.标志着经验分布与理论分布之间的差异的大小.皮尔逊引进如下统计量表示经验分布与理论分布之间的差异:统计量
4、的分布是什么?在理论分布已知的条件下,npi是常量实测频数理论频数皮尔逊证明了如下定理:若原假设中的理论分布F(x)已经完全给定，那么当时，统计量的分布渐近(k-1)个自由度的分布.如果理论分布F(x)中有r个未知参数需用相应的估计量来代替，那么当时，统计量的分布渐近(k-r-1)个自由度的分布.为了便于理解，我们对定理作一点直观的说明.如果根据所给的样本值X1,X2,…,Xn算得统计量的实测值落入拒绝域，则拒绝原假设，否则就认为差异不显著而接受原假设.得拒绝域:(不需估计参数)(估计r个参数)查分布表可得临界值，使得根据这个定理，对
5、给定的显著性水平，皮尔逊定理是在n无限增大时推导出来的，因而在使用时要注意n要足够大，以及npi不太小这两个条件.根据计算实践，要求n不小于50，以及npi都不小于5.否则应适当合并区间，使npi满足这个要求.自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中,全世界记录到里氏震级4级和4级以上地震共162次,统计如下:(X表示相继两次地震间隔天数,Y表示出现的频数)试检验相继两次地震间隔天数X服从指数分布.解所求问题为:在水平0.05下检验假设例由最大似然估计法得X为连续型随机变量,(见下页表)503126171086680.2
6、7880.21960.15270.10620.07390.05140.03580.02480.056845.165635.575224.737417.204411.97188.32685.79964.01769.2016例3的拟合检验计算表在H0为真的前提下,X的分布函数的估计为故在水平0.05下接受H0,认为样本服从指数分布.奥地利生物学家孟德尔进行了长达八年之久的豌豆杂交试验,并根据试验结果,运用他的数理知识,发现了遗传的基本规律.在此，我们以遗传学上的一项伟大发现为例，说明统计方法在研究自然界和人类社会的规律性时，是起着积极的、
7、主动的作用.孟德尔子二代子一代…黄色纯系…绿色纯系他的一组观察结果为：黄70，绿27近似为2.59:1，与理论值相近.根据他的理论，子二代中,黄、绿之比近似为3:1，由于随机性，观察结果与3:1总有些差距，因此有必要去考察某一大小的差异是否已构成否定3:1理论的充分根据，这就是如下的检验问题.这里，n=70+27=97,k=2,检验孟德尔的3:1理论:提出假设H0:p1=3/4,p2=1/4理论频数为：np1=72.75,np2=24.25实测频数为70，27.由于统计量的实测值统计量~自由度为k-1=1=0.4158<3.841，按
8、=0.05，自由度为1，查分布表得=3.841未落入否定域.故认为试验结果符合孟德尔的3:1理论.
