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1、第7次牛顿-柯特斯求积公式与复合求积公式计算方法(NumericalAnalysis)牛顿—柯特斯求积公式牛顿-科特斯求积公式的例子复合求积公式复合求积公式的例子附录：复合梯形公式与复合辛普生公式算法实现与流程图牛顿—柯特斯求积公式采用等距节点的插值型求积公式4.2牛顿—柯特斯求积公式是插值基函数。有关系式定义：在插值求积公式中,当所取节点时称为牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式，其中：是等距利用等步长的特点计算积分系数Ak求积节点为：因此：将积分区间[a,b]划分为n等分,步长a=x0x2
2、xkx1xixn=b…可以推出：a=x0x2xkx1xixn=b……作变量替换并注意得：代入插值求积公式(4.1)有称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数引进记号(柯特斯系数)则将区间[a,b]分为n等分，则n+1个柯特斯系数之和为1证：由于插值型积分公式的系数Ak之和等于（b-a）柯特斯系数的性质由关系：得：2.Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数f(x)的常数，只要给出n，就可以算出柯特斯系数。例如，当n=1时似曾相识当n=2时，由P104表4-1给出了n从1～8的柯特斯系数。当n=
3、8时，出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此，实用的只是低阶公式。似曾相识Newton-Cotes公式柯特斯系数列表：当n=8的时候，出现负值，不稳定对n=6,7,8的情况，见教材。nCk11/21/221/62/31/631/83/83/81/847/9016/452/1516/457/90519/28825/9625/14425/14425/9619/288几个重要的低阶求积公式在牛顿-柯特斯求积公式中n=1,2,4时，就分别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。定理4.2（梯形公式的误
4、差）设f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为当b-a>1时，误差较大；b-a<1时，误差较小(1)梯形公式（是插值型求积公式）当n=1时，牛顿-柯特斯公式就是梯形公式（2）辛卜生公式（是插值型求积公式）定理4.3（辛卜生公式的误差）设f(x)在[a,b]上具有连续的四阶导数，则Simpson公式的误差为定理证明从略。当n=2时，牛顿-柯特斯公式就是辛卜生公式1/62/31/6当b-a>2时，误差较大；b-a<2时，误差较小(3)柯特斯公式（是插值型求积公式）定理4.4（柯
5、特斯公式的误差）设在[a,b]上具有连续的6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为：定理的证明从略。当n=4时，牛顿-柯特斯公式为：7/9016/452/1516/457/90当b-a>4时，误差较大；b-a<4时，误差较小总结：Newton-Cotes公式给出了等距节点的插值型求积公式的统一计算公式。定义：在插值求积公式中,当所取节点时称为牛顿-柯特斯公式：是等距k=0,…,nn=1，梯形公式；n=2,辛普生公式；n=4，牛顿-柯特斯公式.Home牛顿-柯特斯求积公式例题例4.11分别用梯形公式、辛卜生公
6、式和柯特斯公式计算定积分的近似值.(1)用梯形公式计算0.51(2)用辛卜生公式0.510.75误差(3)用柯特斯公式计算(n=4,4等份，5个节点)，系数为0.510.750.8750.625积分的准确值为可见，三个求积公式的精度逐渐提高。梯形公式辛卜生公式柯特斯公式精度0.4267770.430930.43096例4.12用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数)解:辛卜生公式由于f(x)是3阶多项式，所以辛卜生公式余项132解:柯特斯公式知其误差为该定积分的准
7、确值，此例说明，对于同一个积分，当n≥2时，两个公式都是精确的。原因：辛卜生公式具有3次代数精度，柯特斯公式具有5次代数精度，它们对被积函数为3次多项式当然是精确成立的。复合求积公式4.3复合求积公式一般地，应用牛顿-柯特斯求积公式求积分的近似解的时候，随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。但n≥8时，开始出现负值的柯特斯系数。因此，可能导致舍入误差增大，且往往难以估计。不能单纯用增加求积节点数（例如，8个节点，确定一个7次多项式来近似被积函数）的方法来提高计算精度。新想法：将积分区间分成
8、若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式（低阶多项式），然后把所有小区间上的计算结果整合起来，得到整个区间上的求积公式。此即复合求积公式的基本思想。4.3.1复合梯形公式及其误差上应用梯形公式，得：将积分区间[a,b]划分为n等分,步长为求积节点为abxkxk+1在每个小区间…y=f(x)abx1x2x3x4x5x6使用复合梯形公式计算xy然后将Ik累加求和,用作为所求积分I的近似值。得到复合梯形公式：(4.5)设f”(x)在[a,b]上连续,根据上
