牛顿柯特斯求积公式.ppt

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1、4.2数值积分对于积分但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:4.2.1数值求积的基本思想19/18/20219/18/20211以上这些现象,牛顿-莱布尼兹很难发挥作用只能建立积分的近似计算方法29/18/20219/18/20212对于，若则I对应于曲边梯形的面积。9/18/202139/18/20213如果我们用两端点“高度”与的算术平均作为平均高度的近似值，这样导出的求积公式这就是我们熟悉的梯形公式如果改用区间中点的“高度”近似地取代平均高度，则又可以导出所谓中矩公式（简称矩形公式）9/18/202149/18/20214数值积分的基本思想：求解前

2、三步，得到积分的近似值从积分定义的分析中可看出：积分是和式的极限①分割：把曲边梯形分成若干小曲边梯形；③求和：把分量加起来得到总近似值；④取极限：求得积分的准确值。②近似：用矩形面积近似小曲边梯形；求积分的基本方法是四步：59/18/2021其几何意义是曲边梯形的面积。9/18/20215式中称为求积结点；称为求积系数，亦称伴随结点的权。这类数值积分方法通常称为机械求积。69/18/2021为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立。-----(1)9/18/20216定义1.若求积公式则称该求积公式具有m次

3、的代数精度79/18/20214.2.2代数精度的概念代数精度也称代数精确度9/18/20217不难验证，梯形公式和矩形公式均具有一次代数精度。一般的要使机械求积公式具有m次代数精度，只要令它对于都能准确成立，这就要求89/18/20219/18/2021899/18/2021-----(2)9/18/20219例：109/18/20219/18/202110119/18/20219/18/2021114.2.3插值型的求积公式且已知函数在这些节点上的值，作插值函数由于代数多项式的原函数是容易求出的，我们取积分数值计算的方法很多,但为方便起见,最常用的一种方法是

4、利用插值多项式来构造数值求积公式具体步骤如下:129/18/20219/18/202112作为积分的近似值，这样构造出来的求积公式称为是插值型的，式中求积系数通过插值基函数积分得出139/18/20219/18/202113由插值余项定理即知，对于插值型的求积公式，其余项式中与变量有关.由插值型的求积公式的余项可推得的求积公式至少有n次代数精度定理1形如的充分必要条件是，它是插值型的.149/18/20219/18/2021144.2.4求积公式的收敛性与稳定性定义2在机械求积公式中，若其中，则称此求积公式是收敛的定理2若求积公式中系数则此求积公式是稳定的.15

5、9/18/20219/18/202115思考:169/18/2021试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高9/18/2021164.3等距节点求积公式4.3.1柯特斯系数牛顿-柯特斯公式是指等距节点下使用拉格朗日插值多项式建立的数值求积公式各节点为179/18/20219/18/202117因此对于定积分而189/18/2021其中9/18/202118有199/18/20219/18/202119即有n阶牛顿-柯特斯求积公式牛顿-柯特斯公式的余项(误差)209/18/20219/18/202120注意是等距节点219/18/20219/18/20212

6、1所以牛顿-柯特斯公式化为229/18/20219/18/202122§4.3.2几种低阶牛顿-柯特斯公式及其余项在牛顿-柯特斯公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也最重要的三个公式,称为低阶公式1.梯形公式及其余项柯特斯系数为239/18/20219/18/202123上式称为梯形求积公式,也称两点公式，记为求积公式为249/18/2021梯形求积公式的几何意义：用梯形面积近似代替曲边梯形的面积9/18/202124梯形公式的余项为259/18/2021梯形公式具有1次代数精度9/18/2021252.辛普森公式及其余项柯特斯系数为求积公式为269/18/2

7、0219/18/202126记为辛普森公式的余项为279/18/2021上式称为辛普森求积公式，也称三点公式或抛物线公式辛普森公式具有3次代数精度9/18/2021273.柯特斯公式及其余项289/18/2021Cotes系数为9/18/202128求积公式为上式称为柯特斯求积公式，也称五点公式记为柯特斯公式的余项为柯特斯公式具有5次代数精度299/18/20219/18/20212912345678…………下表列出部分柯特斯系数9/18/2021309/18/202130考察柯特斯系数因此用牛顿-柯特斯公式计算积分的舍入误差主要由其值可以精确给定§4.3.3牛

8、顿-柯特斯公式的稳定性(