数值分析6.2 牛顿—柯特斯公式.ppt

《数值分析6.2 牛顿—柯特斯公式.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、6.2牛顿—柯特斯公式为便于上机计算，我们通常在插值型求积公式中取等距节点，即将积分区间[a,b]划分n等分，即令步长h=(b-a)/n，且记x0=a,xn=b，则节点记为xk=x0+kh(k=0,1,…n)，然后作变换:t=(x-x0)/h,代入求积系数公式，将会简化计算.6.2.1牛顿—柯特斯公式设将积分区间[a,b]划分成n等分,步长h=求积节点取为xk=a+kh(k=0,1,,n),由此构造插值型求积公式,则其求积系数为引入变换x=a+th,则有(k=0,1,,n)(k=0,1,,n)记(k=0,1,,n)则于是得求积公式称为n阶牛顿-柯特斯(Newton-Cot

2、es)公式,称为柯特斯系数。显然,柯特斯系数与被积函数f(x)和积分区间[a,b]无关,且为容易计算的多项式积分.n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/9012/9032/907/90519/28875/28850/28850/28875/28819/288641/840216/84027/840272/84027/840216/84041/840常用的柯特斯系数表当n=1时，柯特斯系数为这时的牛顿-柯特斯公式为一阶求积公式，就是我们所熟悉的梯形公式，即当n=2时，柯特斯系数为相应的牛顿-柯特斯公式为二阶求积公式，就是辛普森(simpson

3、)公式(又称为抛物形求积公式)，即式中(k=0,1,2,3,4),h=(b-a)/4.n=4时的牛顿-柯特斯公式就特别称为柯特斯公式.其形式是注：在柯特斯系数表中看到n>7时，柯特斯系数出现负值，于是有特别地，假定则有这表明在b-a>1时，初始误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故n>7的牛顿-柯特斯公式是不用的.6.2.2偶数求积公式的代数精度作为插值型求积公式，n阶牛顿-柯特斯公式至少具有n次代数精度(推论1).实际的代数精度能否进一步提高呢？先看辛普森公式，它是二阶牛顿-柯特斯公式，因此至少具有二次代数精度.进一步用f(x)=x3进行检验，按辛普森公式计算得另一方面

4、，直接求积得这时有S=I，即辛普森公式对不超过三次的多项式均能精确成立，又容易验证它对f(x)=x4通常是不精确的(如取a=0,b=1进行验证有，S=3/8≠I=1/5)，因此，辛普森公式实际上具有三次代数精度.一般地，我们可以证明下述论断：*定理3：n阶牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为证明由推论1已知，无论n为奇数或偶数，插值型求积公式都至少具有n次代数精度.因此我们证明n为偶数的情形，即对n+1次多项式余项为零.令n=2k，设为任一n+1次多项式，其最高次系数为an+1，则它的n+1阶导数为由余项公式有这里变换为x=a+th，注意xj=a+jh.下面我们证明作变换u=t-k，

5、则容易验证Ψ(u)为奇函数，即Ψ(-u)=-Ψ(u)，而奇函数在对称区间上的积分为零，所以定理3说明，当n为偶数时，牛顿-柯特斯公式对不超过n+1次的多项式均能精确成立，因此，其代数精度可达到n+1.正是基于这种考虑，当n=2k与n=2k+1时具有相同的代数精度，因而在实用中常采用n为偶数的牛顿-柯特斯公式，如抛物形公式(n=2)等.6.2.3几种低阶求积公式的余项首先考察梯形公式，设f(x)C2[a,b]，按余项公式有这里函数(x-a)(x-b)在区间[a,b]上保号(非正)，应用积分中值定理，在[a,b]内至少存在一点，得梯形公式余项为再研究辛普森公式的余项R=I-S，为

6、此构造次数不超过3的多项式H(x)，使满足这里c=(a+b)/2.由于辛普森公式具有三次代数精度,它对于这样构造出的三次多项式是精确成立的，即而利用插值条件知，上式右端实际上等于按辛普森公式求得的积分值S，因此积分余项为这里(x-a)(x-c)2(x-b)在区间[a,b]上保号(非正)，应用积分中值定理，得辛普森公式余项为对于插值多项式H(x)，设f(x)C4[a,b]，由插值余项表达式得就有关于柯特斯公式的积分余项，这里不再具体推导，仅给出结果如下若f(x)C6[a,b]，则柯特斯公式余项为解：由梯形公式得由辛普森公式得例题分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式计算积分由柯

7、特斯公式得积分的精确值