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时间:2020-03-23
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1、2.3平面与平面垂直的判定1.直线与平面垂直的概念3.数学思想方法:转化的思想空间问题平面问题复习2.直线与平面垂直的判定线线垂直线面垂直在空间四边形ABCD中,AB=AD,BC=CD.求证:BD⊥AC.如图,取BD的中点K,连接AK,CK.∵AB=AD,K为BD中点,∴AK⊥BD.同理CK⊥BD.∵AK∩KC=K,∴BD⊥平面AKC.∵AC平面AKC,∴BD⊥AC.线面垂直的判定如图2-4-2所示,三棱锥S—ABC中,SB=AB,SC=AC,作AD⊥BC于D,SH⊥AD于H,求证:SH⊥平面ABC.图2-4-2【分析】考查线面垂直的判
2、定定理.【证明】取SA的中点E,连接EC,EB.∵SB=AB,SC=AC,∴SA⊥BE,SA⊥CE.又∵CE∩BE=E,∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE,返回目录∴SA⊥BC.又∵AD⊥BC,AD∩AS=A,∴BC⊥平面SAD.∵SH平面SAD,∴SH⊥BC.又∵SH⊥AD,AD∩BC=D,∴SH⊥平面ABC.【评析】证明线面垂直,需先有线线垂直,抓住条件中两个等腰三角形共用一条边,抓住公共边的中点,通过作辅助平面,找到所需要的另一条直线.练习 在Rt△ABC中,∠B=90°,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC(1)四面
3、体P-ABC中有几个直角三角形(2)指出PB,PC与平面ABC所成的角AC,PC与平面PAB所成的角ACBP例3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,求直线A1B与平面A1B1CD所成的角AC1DCBP变式:(1)求直线AC与平面A1B1CD所成的角B1A1D1Q练习1.两直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗?2.两平行直线和一个平面所成的角相等吗?中心:等边三角形特有的重心:三角形三边上的中线的交点垂心:三角形底边上高的交点内心:三角形角平分线的交点外心:三角形三边垂直平分线的交点练习1一、二面角半平面一个平面内的一条直线把这个平面
4、分成两个部分,其中的每一部分都叫做半平面。OBAAB从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。1、二面角定义:二面角-AB-记为:类比AB二面角-AB-l二面角-l-二面角C-AB-DABCD2、画法lOO1ABA1B1∠AOB∠A1O1B1?以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角-l-的平面角。9二面角的大小用它的平面角来度量范围3、二面角的平面角二面角的大小如何来度量?[0°,180°]平
5、面角是直角的二面角叫做直二面角.相交成直二面角的两个平面,叫做互相垂直的平面.直二面角附:角与二面角之间的关系角图形构成表示法•O顶点边边AB二面角从平面内一点出发的两条射线所组成的图形.从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形.定义射线点射线半平面棱半平面AOB二面角a或ABa棱面面AB一、二面角的平面角的作法和求法1、定义lABOlD2、作(找)面的垂线构造普通三角形求角构造直角三角形求角AO两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。记作:α⊥β2.画法1.定义二、面面垂直平面与平面垂直
6、的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.αβl如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。3.面面垂直判定方法(1)定义(2)判定定理αCDABβ线面垂直面面垂直直二面角理论迁移例1如图,⊙O在平面α内,AB是⊙O的直径,PA⊥α,C为圆周上不同于A、B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.PABCO如图,ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=a.(1)二面角A-PD-C的度数为________;(2)二面角B-PA-D的度数为________;(3)二面角B-PA-C的度数为_
7、_______;900900450例2如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M为AB的中点,求证:平面PMC⊥平面PCD.PABCDMEFAA1B1C1BCE作业:如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,(正三棱柱指底面是正三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱),E为BB1的中点,求证:截面A1EC⊥侧面AC1。
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