大学医用高等数学习题.ppt

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1、习题二第二章：一元函数微分学13.设f(x)在x=x0点处可导,试计算下列极限.235.讨论下列函数在点是否可导?f(x)在x=0处连续.由导数定义有:因此函数f(x)在x=0点处可导.4f(x)在x=0处连续,由导数定义有:因此f(x)在x=0处不可导.56.确定a,b的值,使在x=1点处可导.解:f(x)在x=1处连续,因此有a+b=1x=1处左导数:2xx=1=2右导数:a因此有a=2,b=-16*7.若函数f(x)在x0点可导,且f(x0)≠0,试计算极限78.设曲线y=2x-x3(1

2、)求(1,1)点处的切线方程及法线方程;(2)(x0,y0)点处的切线通过(0,-2)点,求(x0,y0)点及该点处的切线方程、法线方程.(1)y'=2-3x3y´

3、x=1=2-3=-1切线方程:y-1=-(x-1)x+y-2=0法线方程:y-1=x-1x-y=088.(2)解:过(x0,y0)的切线方程:y-y0=(2-3x02)(x-x0)因y0=2x0-x03y-(2x0-x03)=(2-3x03)(x-x0)过(0,-2),x=0,y=-2代入:-2-2x0+x03=-2x03+3x03x

4、03=-1,x0=-1,y0=-1切线方程:y+1=-x-1即x+y+2=0法线方程:y+1=x+1即y=x912.(5)求导数1013.(1)y=xlnx(5)y=x2x+(2x)xy´=[e2xlnx+exln(2x)]´=e2xlnx(2xlnx)´+exln(2x)[xln(2x)]´=2x2x(lnx+1)+(2x)x[ln(2x)+1]y´=[elnxlnx]´=elnxlnx·2lnx·1/x=xlnx·2lnx/xlny=1/2[lnx+lnsinx+1/2ln(1-ex)]111

5、4.求由下列方程确定的隐函数的导数.(1)y=1+xeyy´=ey+xeyy´(1+xey)y´=ey(2)y=tan(x+y)y´=sec2(x+y)(1+y´)[1-sec2(x+y)]·y´=sec2(x+y)1214.(3)xy=yx两边取对数：ylnx=xlny两边求导数：xy=ex+yy+xy´=ex+y(1+y´)1315.试证明曲线上任一点处的切线,截两个坐标的截距之和为a解:对方程两边求导:切线方程:化为截距式:截距之和为1416.求下列函数的二阶导数(3)y=xxlny=xln

6、x1/y·y´=lnx+1y´=xx(lnx+1)1516.(4)两边对x求导:1617.设f(x)存在,求下列函数的二阶导数y=f(x+e-x)y=f(x2)·2xy=2f(x2)+f(x2)·4x2(2)y=ln[f(x)]1719.一质点作直线运动,其运动规律为,其中路程s的单位为米,时间的单位为秒,求质点在第四秒末的速度与加速度?答:4秒末的速度为1/4米/秒,加速度为-1/32米/秒21820.许多肿瘤的生长规律为其中,v表示t时刻的肿瘤的大小(体积或重量),v0为开始(t=

7、0)观察时肿瘤的大小,a和A为正常数.问肿瘤t时刻的增长速度是多少?1926.利用L´Hospital法则求下列函数极限(1)(2)2026.(3)2126.(4)2226.(5)26.(6)2326.(7)26.(8)2426.(9)设函数f(x)存在二阶导数，f(0)=0,f(0)=1,f(0)=2,试求因函数二阶可导，函数及其导数在x=0处连续由洛必大法则：2526.(10)设函数有二阶连续导数,且解:化为指数函数由洛必大法则由(9)题结果有:因此原式=e2,求2627.试确定下列函数的

8、单调区间(3)f(x)=xe-x,(4)(3)f´(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x)=0驻点:x=1当x<1时f´(x)>0,当x>1时f(x)<0因此在(∞,1)内单调增加,(1,+∞)内单调减少.(4)驻点:x=1,x<1时f(x)>0,当x>1时f(x)<0(0,1)内单调增加,(1,+∞)内单调减少2728.求下列函数的极值.(2)(0,e)内f´(x)<0↓，(e,+∞)内f´(x)>0↑x=e为极小值点。极小值f(e)=e2828.(3)驻点:x=1,x=-1(-∞,-1

9、)内f(x)<0↓;(-1,+1)内f(x)>0↑;(1,+∞)内f(x)<0↓;所以x=-1为极小值点.极小值:f(-1)=-3x=1为极大值点.极大值f(1)=32928.(4)驻点：x=2;x=3处不可导。当x<2时f(x)>0;x>2时f(x)<0.x=2为极大值点.f极大(2)=3当x<3时f(x)<0,x>3时f´(x)>0.x=3为极小值点.f极小(3)=0-112345-2-112343029.试问a为何值时,函数f(x)=asinx+1/3·sin3x