根与系数关系教案.doc

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1、一元二次方程的根与系数的关系教学目标： 1．通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根据。　　2．使学生会运用根与系数关系解决有关问题。重点、难点：一元二次方程根与系数的关系是重点，让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，是教学的难点。教学课时：2课时教学过程设计(一)引言我们知道，方程的根的值是由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的各项系数a，b,c决定的.我们还知道根的性质(有、无实数根及实数根的个数)由b2-4ac决定.今天我们来研究方程的两根之和及

2、两根之积与a,b,c有什么关系?先填表，归纳出规律，然后给予严密的证明（二）新课　　从表格中找出两根之和x、x与两根之积x·x和a,b,c的关系：　　1.先从前面三个方程(二次项系数是1)观察x1+x2,x1x2的值与一次项系数及常数项的关系.　　2.再看后面三个方程(二次项系数不是1)，观察x1+x2,x1x2的值与系数的关系.　3.猜想ax2+bx+c=0 (a≠0)的x1+x2,x1x2与a,b,c的关系(引导学生猜想为x1+x2=-，x1x2=.)4.怎样证明上面的结论.启发学生：求根公式是具有一般性

3、的，我们用求根公式来证明就可以了.　　证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,例题讲解：例1：说出下列方程的两根和、两根积各是多少？((1)x-3x+1=0(2)3x-2x=2(3)2x+3x=0(4)3x=1(5)x+5x+7=0例2:利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0两根x、x的(1)平方和；(2)倒数和（3）（x-x）（4）（x+1）(x+1)（5）︱x-x︱　　分析：根与系数关系告诉我们，不必解出方程，可以直接用方程的系数来表示两根之和与两根之积.例3:已知方程5

4、x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.本课小结：不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的参数的值。布置作业:1.如果-5是方程5x2+bx-10=0的一个根，求方程的另一个根及b的值；3.设x1、x2是方程2x2-6x＋3=0两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（1）xx+xx(2)(x1-x)(3)(x-2)(x-2)(4)+(5)︱x-x︱例4:（1）以2、3为根的一元二次方程是。（2）以x、x为根的一元二次方程是。

5、（3）不解方程3x-5x=5,求作一新方程，使它的两根分别是已知方程两根的相反数。例5：已知关于x的一元二次方程x—mx+2m—1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值。例6：１．已知α、β是方程x+2x—7=0的两个实数根，求α+3β+4β的值。２．已知关于x的一元二次方程x—2kx＋k—2=0（１）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根。（２）设x、x为方程的两根，且满足x—2kx＋２xx=５，求k的值。本课小结：（１）要求作一个新方程，先算新方程的两根和与两根积。（２）利用根与系数关系的前提条

6、件是：二次项系数不为零且⊿≥0。