工程应用数学电子教案第二章 傅立叶级数.ppt

《工程应用数学电子教案第二章 傅立叶级数.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章傅立叶级数引子级数的概念傅立叶级数用Matlab进行傅立叶级数运算引子引例求半径为的圆的面积正六边形面积正十二边形的面积正边形面积即当无限增大，则所求圆面积为第二章傅立叶级数引子级数的概念傅立叶级数用Matlab进行傅立叶级数运算1、级数的定义一般项（常数项）无穷级数特例：正项级数级数的部分和级数的部分和数列2.级数的收敛与发散当无限增大时，如果级数的部分和数列有极限，即，则称无穷级数收敛，这时极限叫级数的和.并写成如果没有极限，则称无穷级数发散,发散的级数没有和.即（常数项）级数收敛（或

2、发散）存在（或不存在）余项即误差为例讨论等比级数（几何级数）的敛散性.解1）如果级数收敛，其和为级数发散级数发散级数变为不存在，级数发散.2）如果综上例讨论无穷级数的收敛性.解由于因此，该级数的部分和从而所以该级数收敛，它的和是13、函数项级数的一般概念设是定义在上的函数则称为定义在区间上的（函数项）无穷级数,简称（函数项）级数Eg.形如的函数项级数，称为的幂级数当时,称为的幂级数.其中常数称为幂级数的系数小结1、常数项级数的基本概念2、级数的收敛和发散即（常数项）级数收敛（或发散）存在（或不存

3、在）3、函数项级数的一般概念，幂级数的概念第二章傅立叶级数引子级数的概念傅立叶级数用Matlab进行傅立叶级数运算引例非正弦周期函数:矩形波不同频率正弦波逐个叠加1、函数系的正交性三角函数系任意两个不同的函数之积在区间上的积分为零.而任何一个函数的平方在区间上的积分都不等零,其中复指数函数系在区间内,具有正交性.其中:为虚数单位,2、函数展开成傅立叶级数三角傅立叶级数三角级数：任意信号，在区间内，可用三角函数系表示为一般取，则傅立叶系数表示为利用三角函数正交性，得到一个周期的傅立叶系数特例当时，

4、，系数可表示为函数的三角傅立叶级数：三角傅立叶级数的另外一种形式：其中物理意义：谐波分析，即把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加.的直流分量：一次谐波(基波)：次谐波：次谐波分量：基频指数傅立叶级数的指数傅立叶级数：其中直流分量：一次谐波分量：次谐波分量：指数傅立叶级数与三角傅立叶级数是傅立叶级数的两种表示方式，可以通过下式转化.或三角傅立叶级数系数与指数傅立叶系数之间的关系式为：或傅立叶级数的收敛条件被展开的函数需要满足如下的一组充分条件：条件1在一周期内,函数绝对可积,

5、即条件2在一个周期内函数极大值和极小值点的个数应是有限个条件3在一个周期内，如果间断点存在，则间断点的数目应是有限个.当是的连续点时，级数当是的间断点时，级数并且该组条件称为“狄利克雷条件”案例【周期矩形信号】设是周期为的周期函数,它在上的表达式将展开为傅立叶级数.解当时，级数收敛于傅立叶系数如下：得到的傅立叶级数展开式为当时，级数收敛于案例【周期锯齿脉冲信号】宁波波导公司的技术人员需分析周期脉冲锯齿波的信号的特征，现对信号进行谐波分析,并指出直流分量、基波和次谐波分量.解信号的周期为，在一个周

6、期内的表达式为得到的傅立叶级数展开式为直流分量为基波为其中为偶数时，次谐波分量为为奇数时，次谐波分量为小结1、函数系的正交性；2、三角傅立叶级数及其傅立叶系数；3、指数傅立叶级数及其傅立叶系数；4、三角傅立叶级数系数和指数傅立叶级数系数之间的关系；5、狄利克雷充分条件；6、周期为的周期函数的三角傅立叶级数。3、奇函数和偶函数的三角傅立叶级数周期信号的对称性与傅立叶系数的关系案例【脉冲矩形波】宁波春光无线电厂需分析方波信号的特征，现对方波信号进行谐波分析，指出基波和次谐波分量.解由图知，为奇函数得

7、到的傅立叶级数展开式为:基波为只包含有正弦分量.次（奇次）谐波分量为案例【半波整流余弦脉冲波】杭州某研究所需分析周期性半波整流余弦脉冲信号，现对余弦信号进行分析.解由图知，为偶函数得到的傅立叶级数展开式为4、奇函数和偶函数的指数傅立叶级数案例【周期矩形波】杭州尖峰电子有限公司的技术人员需分析周期方波信号特征，其中脉宽为，脉幅为，周期为，现对方波信号进行谐波分析，并指出次谐波分量（用指数形式表示）.解在周期内的表达式为为偶函数，取得到的傅立叶级数为次谐波分量为案例【周期三角脉冲信号】浙江某技术研究

8、所需分析周期三角脉冲信号的特征，其中振幅为1，周期为2，现对三角脉冲信号进行谐波分析，并指出次谐波分量（用指数形式表示）.解由图知，在区间的表达式为由为奇函数知取，则指数傅立叶系数为所以周期三角脉冲信号的傅立叶展开式为次谐波分量为5、三角傅立叶级数和指数傅立叶级数的转化例已知的三角傅立叶级数展开式为求它的指数傅立叶级数展开式.解得到的指数傅立叶级数展开式为小结1、奇函数和偶函数的三角傅立叶级数；2、奇函数和偶函数的指数傅立叶级数；3、三角傅立叶级数和指数傅立叶级数的转化.6、非周期函数的傅立叶级