傅立叶级数课件.ppt

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1、第六节傅里叶级数第十一章一、三角级数三角函数系的正交性二、以2π为周期的函数的傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数一、三角级数三角函数系的正交性1.三角级数——三角级数2.研究意义(A:振幅,复杂周期运动::角频率,φ:初相)(谐波迭加)简单周期运动:(1)物理背景(2)回顾优点：缺点：易于计算3.函数展开成三角级数的基本问题an=?,bn=?展开式是否唯一?(2)在什么条件下才能展开成三角级数?(3)三角级数的收敛域?展开式成立的范围？4.三角函数系的正交性定义(正交函数系)正交函数系.定理1三角函数系证类似地，得上的积分不等于0.三角函数系中任两相同函数的乘积

2、在注1°2°正交性:二、以2为周期的函数的傅里叶级数1.函数展开成三角级数的形式定理2设f(x)是周期为2的周期函数,若唯一的,且———傅里叶系数证对(6.3)逐项积分,得由正交性,值为零(6.3)cosnx,再积分由正交性,(6.3)sinnx,再积分2.傅里叶系数或(6.4)定义(傅里叶级数)3.傅里叶级数问题:条件？其中定理11.15(收敛定理,展开定理)设以2为周期的函数f(x)满足狄利克雷条件:1)连续，或最多只有有限个第一类间断点;2)最多只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数在(-,+)处处收敛,且在一个周期内4.函数展开成傅里叶级

3、数的充分条件注函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.x为f(x)的间断点x为f(x)的连续点例1解O-1--12--2-32O-1--12--2-32O-1--12--2-32-3O-1--12--225.展开步骤例2上的表达式为将f(x)展成傅里叶级数.解设f(x)以2为周期,3º所求函数的傅里叶展开式为：例3设f(x)以2为周期,上的表达式为解将f(x)展成傅里叶级数.奇函数偶函数an=0正弦波的叠加傅氏级数的部分和逼近f(x)的情况见右图.注矩形波是无穷多三、正弦级数和余弦级数2.奇、偶函

4、数(周期:2)的傅里叶级数定理3周期为2的奇(偶)函数f(x),为正(余)弦级数,傅里叶系数为(1.定义正(余)弦级数:其傅里叶级数)例4解将f(x)展成傅里叶级数.设f(x)以2为周期,上的表达式为f(x)为偶函数(如图),可展成余弦级数.例5当x=0时,f(0)=0,得求数项级数的和.函数展开成傅里叶级数的应用：注解设已知内容小结1.函数(周期:2)的傅里叶展开:其中注若为间断点,则级数收敛于2.周期为2的奇、偶函数的傅里叶级数奇函数正弦级数偶函数余弦级数3.三角级数与幂级数的特点对照.项目三角级数幂级数周期性计算展开条件收敛域有无繁简弱(比连续弱

5、)强(f(n)(x)存在)区间(简)大(复杂)备用题例2-1f(x)＝x,将f(x)展成傅里叶级数.设f(x)以2为周期,解不计奇函数.上的表达式为周期为2的n＝1由收敛定理得正弦级数:级数的部分和n＝2n＝3n＝4逼近f(x)的情况见右图.n＝5注