计算材料学-声子色散曲线.pdf

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1、计算材料学Part8声子色散曲线主讲：鲁勇北京化工大学晶格振动用经典力学的方法讨论完整晶格中原子（离子）绕平衡位置的振动考虑一个元胞中只有一个原子（离子）的简单晶格，晶体的元胞数为N，原子质量为M，原子l的位置：X()ttRu()u()t则代表此原子的位移。llll晶格振动的总动能••1TMululx,y,z2l,总势能10'()lul(,')lluull...l,2l,l'Φ0-晶体中所有原子处于平衡位置时的势能，为一常数()l0在平衡点晶体的势能极小，0代表

2、平衡点ul02(,')ll(',)lluull'0由于晶体的平移对称性(l,l')(ll')(l'l)➢力常数(ll')代表l’元胞中原子沿方向移动单位距离时对l元胞中原子作用力沿方向的分量，称为力常数当整体作刚性运动（即每个原子均作uv）时，晶格中任一原l子受到其它原子作用力之总和为零；即Fl()(llu')l'(ll')v0ull''(ll')0l'简谐近似在简谐

3、近似下，略去展开的三次方以上高阶项0HT•11plpl(ll')ulul'plMul2Ml,2l,l',•H由正则方程plul••可得系统的运动方程Mul(ll')ul'l',ikR•l利用平移对称性及布洛赫定理ueul0对于确定的k，运动方程的解表现出下列特征：1.各元胞中原子振动的方向相同，振幅相等ik•Rl2.有特定的相位关系，按e变化2格波：每一确定的k的解代表波长为的集体振动，称为格波。

4、k

5、令uU对应于用波矢k标记的特

6、解，可将3N自由度的耦合方程组简化为N0k个独立的3自由度耦合方程，而每个波矢满足方程••UkD(k)Uk,x,y,z1ik•Rl33动力学矩阵，力常数的傅里叶变换，D(k)(l)eM为实的厄米矩阵。l2其对角化方程为D(k)ekek2为振动频率，由久期方程det

7、

8、D(k)

9、

10、0可求出3个本征频率和本征向量();kek1,2,31i[k•Rlt]特解u~eelkN代表波矢为k、偏振为、频率为(k)的格波解。1ikR•lee在BZ中，

11、一定时刻t的格波解k称为简正模。N根据正格矢与倒格矢之间的关系可得D(kK)D(k)n动力学矩阵是倒逆空间的周期函数，因此只需要讨论一个BZ。由于有N个不同的k，而每个k又对应3个本征值，因此有3N个简正模（或格波解），它们满足正交、归一和完备性条件，构成3N维空间的完备函数组，可用作基函数展开，表示3N自由度的晶格振动一般解1ik•RlulekQkeNMk,Qi(k)t系数k（包括e因子）在固体物理学中称为简正坐标；e代表格波的偏振方向，称为极化矢量，它是单位矢。k对于具有r个原子的复式晶格，本征

12、频率(k)(1,2,..,3r)1ik•Ru(s)e(s)QellkkNMsk,格波的特性➢(k)的共性特征（1）周期性：格波的本征频率是倒点阵的周期函数(k)(kK)n（2）对称性：(k)具有点阵所属点群的全部对称性(k)(k)（3）时间反演对称性(k)(k)➢声学模与光学模声学模：色散曲线具有k=0时，??=0特征的格波称为声学模。光学模：当k=0时,??≠0的格波解称为光学模。??=0,声学模?=0,??≠0,光学模简单晶格中，的全部格波解都属于声学模，因为：1i

13、k•RlD(k)(l)eMl1D(k0)(l)0Ml复式晶格中，同时存在声学模和光学模对于元胞中有r个原子的复式晶格有本征方程k2Dek(s')ek(s),s's,s'其中s,s’=1,…,r,代表元胞中不同的原子。格波频率由下式决定：k2det

14、

15、D

16、

17、0ss's,s'动力学矩阵k1lik•RlDes,s'MsMs'ls,s'力常数ll'2s,s'

18、ul(s)ul'(s')0同样，复式晶格的刚性位移不产生应力ll'0l',s's,s'将?=0时的???代入本征方程可得，?点方程：e(s)1ll'e(