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《微积分经管类第四版课件吴赣昌第三章.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第三章中值定理与导数的应用3.1中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理费马引理设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的有(或).证不妨设时，则对有从而当时，当时，则由极限的保号性，及函数在处可导所以，完证毕.一、罗尔(Rolle)定理怎样证明罗尔定理？闭区间上连续函数的最大最小值定理！费马引理最值不可能同时在端点取得.不妨设则在内使有故由费马引理知证毕.至少存在一点证在连续，必存在最大值和最小值若则取都有若例如，在上连续，在上可导，且取则有注：一般情况下，定理结论中导数函数的零点不易找到的.是注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.不求导数，的导数
2、有几个零点及这些零点所在的范围.解因为所以在闭从而，使即是的一个零点；使例1判断函数区间上满足罗尔定理的三个条件，、内至少存在一点在又在内至少存在一点即也是的一个零点；又因为为二次多项式，故恰好有两个零点，完最多只能有两个零点，和分别在区间内.例2证证明方程有且仅有一个小于1的正实根.设则在上连续,且由介值定理,存在使即为方程的小于1的正实根.设另有使因为在之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一点(在之间),使得但导致矛盾,故为唯一实根.完例证设函数在上连续,导,在内可且若存在常数使得试证至少存在一点使得因故和同号,不妨设又因为所以在和上连续,由于和异号,和异号,所以,至少存在一点使至少
3、存在一点使在区间上,显然满足罗尔定理的三个条件,即在上连续,在内可导,所以至少存在一点使完二、拉格朗日(Lagrange)中值定理弦AB方程为作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.推论1如果函数在区间上的导数恒为零,那么在区间上是一个常数.推论1表明:导数为零的函数就是常数函数.这一结论以后在积分学中将会用到.由推论1立即可得：推论2如果函数与在区间上恒有在区间上为常数).完例3证完证明设即又例4证证明当时,设足拉格朗日定理的条件.故从而又由则在上满完即例证设是在上可导的函数,且单调减少,试证:对于恒有当时,有故
4、不等式成立.当时,在上应用拉氏定理知,使在上应用拉氏定理知完使所以证毕.单调减少,三、柯西(Cauchy)中值定理柯西(Cauchy)中值定理闭区间上连续,在开区间内可导,且在内每一点处均不为零,有一点使得如果函数及在那么在内至少证作辅助函数满足罗尔定理的条件,则在内至少存在一点使得即证毕.显然,当时,柯西中值定理化为拉格朗日中值定理.例5设函数在上连续,导.在内可试证明至少存在一点使证作辅助函数则在上满足柯西中值定理的故在内至少存在一点条件,使完即内容小结1.中值定理的条件和结论名称条件结论罗尔定理拉格朗日定理柯西定理在上连续(1)在(2)内可导(3)在上连续(1)在(2)内可导在上连
5、续(1)在(2)内可导使得使得使得内容小结2.中值定理的几何意义罗尔定理拉格朗日定理柯西定理3.罗尔定理及中值定理之间的关系Rolle定理Cauchy中值定理Lagrange中值定理4.中值定理的应用内容小结(1)常用于其他定理的证明；(2)用于证明恒等式、不等式、中值的存在性，应逐步熟悉构造辅助函数证题的方法.方程的根的存在性、5.中值定理的推论(1)若(常数)，(2)若完例设在上连续,在内可导,且证明:存在使成立.证从结论倒退分析知,可引进辅助函数由于罗尔定理条件,易知在上满足且因此,在内至少存在一点使即因所以完作业Page132EX.6Ex.8Ex.10Ex.13(2)(4)Ex.
6、16三、其他未定式二、型未定式一、型未定式3.2洛必达法则定义例如,存在(或为)定理1.型未定式(洛必达法则)证定义辅助函数则有例1解求原式例3解求完例2解求原式注:上式中,已不是未定式,不能再对它应用洛必达法则.完例4解求注:若求则可利用上面求出的函数极限,得完例5解求完型未定式例6解求原式例7解求反复应用洛必达法则次,得原式例解求注意到则有注:洛必达法则但若能与其它求极限的方法结合使用,效果会更好.虽然是求未定式的一种有效方法,例8解求当时,故完例9解求所求极限属于的未定式.但分子分母分别求导数后,将化为此式振荡无极限,故洛必达法则失效,不能使用.但原极限是存在的,可用下法求得:完例
7、10解求对于型,可将乘积化为除的形式,即化为或型的未定式来计算.完例11求解可利用通分化为型的未定式对于型,来计算.完例求解完例求解原式直接用洛必达法则,计算量较大.为此作变量替换,令则当时,所以完例求解型步骤取对数完例13求解将它变形为由于故完例求解完例求解由于所以完例求解一利用洛必达法则.解二利用两个重要极限.完例14求解完例求解因为所以完1.设有一阶导数，完2.设是未定式极限，如果的极限不存在且不为是否的极限也一定不存在？举例
