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《微积分 经管类. 第四版 课件 吴赣昌 第四章.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、4.1不定积分的概念与性质原函数的概念不定积分的概念不定积分的性质基本积分表直接积分法一、原函数的概念定义从上述后面两个例子可见:唯一的.设是定义在区间上的函数,若存在函数对任何均有或则称函数为在区间上的原函数.例如,因为故是的一个原函数;因为故是的一个原函数;因为故是的一个原函数;一个函数的原函数不是注:函数求导得来的.则其全体原函数为区间上的连续函数一定有原函数.求函数的原函数,实质上就是问它是由什么而一旦求得的一个原函数(为任意常数).二、不定积分的概念定义若存在原函数,为积分符号,由定义知,则在某区间上的函数称为可积函数,并将的全体原函数记为则称它是函数在区间内的不定积分,其中称
2、称为被积函数,称为积分变量.若为的原函数,(称为积分常数)例1问与是否相等?解不相等.设则而由不定积分定义所以完性质1、2--微分运算与积分运算的关系由不定积分的定义知,或所以又由于是的原函数,或从上可见微分运算与积分运算是互逆的.两个运算连在一起时,一常数.完全抵消,抵消后差例2求下列不定积分解(1)所以是的一个原函数,从而(2)所以是的一个原函数,从而因为因为(3)因为的原函数,从而完故是的例4已知曲线在任一点处的切线斜率为且曲线通过点求此曲线的方程.解根据题意知即是的一个从而积分曲线族现要在上述积分曲线族中选出通过点的那条由曲线通过点得故所求曲线方程为完原函数,曲线.例5经过调查发
3、现,某产品的边际成本函数可由下解设所求生产成本函数为按题意,面的函数给出其中是产量数,知生产的固定成本为2,求生产成本函数.有因为所以是的一个原函数,从而已现要在上述积分曲线中选出一条生产成本曲线,已知生产的固定成本为2,即当产量时成本为故可得由2,即因此,所求生产成本函数为完性质3两函数代数和的不定积分,分的代数和.即证证毕.等于它们各自积注:此性质可推广到有限多个函数之和的情形.三、不定积分的性质性质4求不定积分时,即证证毕.非零常数因子可提到积分号外面.四、基本积分表(1)(3)(6)(2)(5)(是常数)(4)(7)(9)(10)(11)(12)(13)(8)完五、直接积分法直接
4、积分法例如,计算不定积分不定积分性质积分基本公式例6计算不定积分解完例7求不定积分解完例8求不定积分解完例9求不定积分解完解求不定积分例完例10求下列不定积分:解完例11已知且求解设则当时,于是即当时,于是即得再由在处连续,得所以又完得例求满足下列条件的解根据题设条件,有又得所以完例求满足下列条件的解根据题设条件,有由得即所以完1.求下列不定积分完2.符号函数在为什么？内是否存在原函数？课堂练习1.求下列不定积分解完2.符号函数在内是否存在原函数？为什么？解不存在.假设有原函数但在处不可微，假设错误，故在内不存在原函数.每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.事实上，作业Page184
5、Ex.1（双号题）Ex.2换元积分法第一类换元法（凑微分法）第二类换元法一、第一类换元法(凑微分法)问题?观察从公式令则有解法可将微分凑成的形式,即一般地,设具有原函数即则换元回代应用凑微分法求的关键是将它化为上述方法称为第一类换元法或凑微分法.例1解求不定积分利用凑微分公式所以完换元回代例解求不定积分换元回代注:一般情形:完例2解计算不定积分换元回代注:一般情形:完例解计算不定积分注:对变量代换比较熟练后,可省去书写中间变量的换元和回代过程.例3解求不定积分换元回代注:一般情形:完例4求下列不定积分解注:一般情形:完例5求下列不定积分解(1)(2)原式原式例5求下列不定积分解(1)(2
6、)原式原式完例10解求不定积分由于所以完例6求下列不定积分(1)解原式例6求下列不定积分解注:一般情形:完例11解求不定积分原式注:利用平方差公式进行根式有理化是化简积分计算的常用手段之一.完例7解法一求不定积分原式解法二原式解法三原式例8求下列不定积分解例8求下列不定积分解(2)原式注:当被积函数是三角函数的乘积时,项去凑微分.折开奇次完例9求下列不定积分解解例12求下列不定积分解完例13求下列不定积分解解完例解法一试用换元法求不定积分解法二原式原式完例解求完例用换元法求不定积分解原式完例试用换元法求不定积分解原式完例解试用换元法求不定积分利用例12的结果:得完例解求不定积分所以因为原
7、式完例求不定积分解因为它与被积函数分母相同,所以原式完二、第二类换元法问题方法通过变量替换引入新的积分变量.例如,令则用”凑微分”即可求出结果定理2设是单调可导函数,且又设具有原函数则其中是的反函数.证因为为的原函数,令则即为的原函数.证毕.注:从定理2可见,第二类换元积分法与第一类换元积分法的换元与回代过程正好相反.完例14解求不定积分设则于是完例15解求不定积分令完例解计算设则所以原式完例求不定积分解令例16解求不定积分令则例1
