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《微积分-经管类.-第四版-课件-(吴赣昌)-第二章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章导数与微分2.1导数概念导数的定义左、右导数用定义计算导数可导与连续之间的关系一、引例1.变速直线运动的瞬时速度问题取极限得2.切线问题割线的极限位置——切线位置播放如图,MT为曲线C在M点处的切线，下面考虑求该切线的斜率。3产品总成本的变化率设某产品的总成本是产量的函数,即当产量由变到时,总成本相应的改变量为故当产量由变到时,总成本的平均变化率为当时,如果极限存在,则称此极限是产量为时的总成本的变化率.二、导数的定义定义设函数在点的某个领域内有定义,当自变量在处取得增量(点仍在该领域内)时,相应地函数取得增量若与之比当时的极限存在,处可导,并称这个极限
2、为函数在点处的导数,记为则称函数在点或即导数定义的其它形式:令令例2试按导数定义试求下列各极限(假设各极限均存在).其中解因为于是三、左右导数左导数右导数定理1函数在点处可导左导数和右导数都存在且相等.例3解求函数处的导数.在当时,故当时,故由得关于导数的几点说明(3)都对应着的一个确定的导数值,个函数叫做原来函数的导函数,记作这或注意:(1)就称函数在开区间内可导;(2)且及都存在,就称在闭区间上可导;导,如果函数在开区间内的每点处都可如果在开区间内可导,例4求函数的导数.解即例5设函数求及解即例6解求函数的导数.即更一般地例如,例7解求函数的导数.即例解求
3、函数的导数.即例8解求曲线在点处的切线方程.因为故所求切线方程为即五、导数的几何意义六、可导与连续的关系定理则它在点处连续.证因为函数在点可导,所以于是(当),证毕.故函数在点连续.如果函数可导,在点注:但在该点不一定可导.该定理的逆命题不成立.即函数在某点连续,例9讨论函数在处的连续性与可导性.注:一般地,若曲线的图形在点处出现尖点,则它在该点不可导.例10讨论在处的连续性与可导性.1.函数在某点处的导数与导函数有什么区别与联系？2.设在处连续，求3.求曲线上与轴平行的切线方程.课堂练习1.函数在某点处的导数与导函数有什么区别与联系？解是在点的导数值，是一个
4、具体的数值.是由于在某区间上每一点都可导而定义在上的一个新函数：即有唯一值与之对应.两者的区别两者的联系一个是数值，另一个是函数.在某点处的导数即是导函数在处的函数值.完2.设在处连续，求解3.求曲线上与轴平行的切线方程.解令切点为所求切线方程为和完作业Page90EX.2Ex.3Ex.4Ex.9Ex.102.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——
5、切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.2函数的求导法则导数的四则运算反函数的导数复合函数的求导法则初等函数的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理1若函数在点处可导,则它们的和、差、积、商(分母不为零)并且(1)(2)(3)在点处也可导,证(3)设推论(1)(2)(3)例1求的导数.解例2解求的导数.例3求的导数.解即同理可得解同理可得完例求的导数.二、反函数的导数定理2若函数在某区间内单调、可导则它的反函数在对应区间内也可导,且有或即:反函数的导数等于直接函数导数的倒数
6、.且证任取给以增量由的单调性可知于是连续,又证毕.完例6解求函数的导数.且在内单调、可导,在对应区间内有特别地完例5求函数的导数.解在内单调、可导,且在对应区间内有同理可得三、复合函数的求导法则定理3若函数在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为或链式法则证由在点可导,故注:例如,则复合函数的导数为复合求导法则可推广到多个中间变量的情形.设完例7求函数的导数.解设则完例8求函数的导数.解设则例10求函数的导数.解完例求函数的导数.解一设中间变量,令于是例求函数的导数.解完例11求导数解完例9求函数的导数.解完例求导数解完例12求函数的导数.解求分段
7、函数的导数时,在每一段内的导数可按一般求导法则求之,但在分段点处的导数要用左右导数的定义求之.当时,当时,当时,由知,所以完例13已知可导,求函数的导数.解注:求此类含抽象函数的导数时,应特别注意记号表示的真实含义,此例中,表示对求导,而表示对求导.例求导数且可导.解完例求函数(n为常数)的导数.解完1.求下列函数的导数：且为常数，课堂练习2.若在不可导，在可导，且则在处().(1)必可导；(2)必不可导；(3)不一定可导.3.幂函数在其定义域内().(1)必可导；(2)必不可导；(3)不一定可导.课堂练习完解解且为常数，解(3)先化简，再求导分母有理化2.若
8、在不可导，在可导，且则在处().(1)
