浅析二次函数与几何综合类存在性问题.doc

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1、浅析二次函数与几何综合类存在性问题摘要：二次函数与三角形、四边形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起來，互相渗透。解答这类题型贵在分析，理清解题思路与方法，条件与结论如何有机地综合在一起考虑解答。这种存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在，某个结论是否出现的问题。关键词：二次函数；存在性；数形结合中图分类号：G632文献标识码：B文章编号：1002-7661(2016)16-081-02二次函数与三角形、四边形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透。存在探索型问题是指在给定条件下，

2、判断某种数学现象是否存在，某个结论是否出现的问题。解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论,则可肯定假设。探究一、二次函数与三角形的结合例1、如图，对称轴为直线x二-1的抛物线与x轴的交点为A、B两点,其中点A的坐标为(-3,0).(1)求点B的坐标；(2)已知沪1,C为抛物线与y轴的交点.%1若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；%1设点Q是线段AC上的动点，作QD丄x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值.分析：(1)抛物线的解析式未知，不能通过解方程的方法确定点B的坐标,根据二次函数的对称性，能求出B点

3、的坐标吗？(2)要求抛物线解析式应具备哪些条件？由沪1,A(-3,0),B(1,0)三个条件试一试；(3)根据列出关于x的方程，解方程求出x的值；(4)如何用待定系数法求出直线AC的解析式？(5)D点的坐标怎么用x來表示？(6)QD怎样用含x的代数式来表示？(7)QD与x的函数关系如何？是二次函数吗？如何求出最大值？解：(1)由题意知：点A与点B关于直线x=T对称，A(-3,0),AB(1,0)・(2)①当沪1时，则b二2,把A(-3,0)代入屮得c二-3,・・・该抛物线解析式为，•••又，・•・，•：,当时，；当时，；・••点P的坐标为(4,21)或(-4,5).②TA(-3,0),C

4、(0,-3),则直线AC的解析式为y=-x-3・设点Q为(a,-a-3)，点口为(，),当时，QD冇最大值，其最大值为。探究二、二次函数与四边形的结合例2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3,0）,与y轴交于C（0,-3）,点P是直线BC下方抛物线上的一动点。（1）求这个二次函数的解析式.（2）连接P0、PC,并将APOC沿y轴对折，得到四边形POP'C,那么是否存在点P,使得四边形POP，C为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大

5、面积.分析：（1）图中己知抛物线上几个点？将B、C的坐标代入求抛物线的解析式；（2）画出四边形POP，C,若四边形POP'C为菱形，那么P点必在0C的垂直平分线上，由此能求出P点坐标吗？（3）由于AABC的面积为定值，求四边形ABPC的最大面积，即求ABPC的最大面积.解：（1）将13、C两点的坐标代入，得,解得・•・这个二次函数的解析式为。（2）假设抛物线上存在点P（x,）,使得四边形POP'C为菱形，连接PP'交C0于点E,I四边形POP'C为菱形，・・・PC二P0,PE丄C0,・•・0E二EC二32,・・・P点的纵坐标为,即,解得,（不合题意，舍去）。・••存在点P（,）,使得四边

6、形POP'C为菱形。（3）过点P作y轴的平行线交BC于点Q,交OB于点F,设P（x,）,由得点A的坐标为（-1,0）,・・・13点的坐标为（3,0）,C点的坐标为（0,-3）,直线BC的解析式为：y=x-3,.Q点的坐标为（x,x-3）,・・・AB二4,CO二3,B0二3,,・••当x二32时，四边形ABPC的面积最大.，此时P点的坐标为（,四边形ABPPC的最大面积为。求四边形面积的函数关系式，一般是利用割补法把四边形面积转化为三角形面积的和或差。