二次函数与几何存在性问题探究课件.ppt

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1、二次函数在几何方面的应用——存在性问题二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透．存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题．解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设．二次函数与几何综合类存在性问题类型一特殊三角形的存在、探究问题典例精讲例(’13铜仁)如图，已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个

2、交点(与A点不重合).(1)求抛物线的解析式；(2)求△ABC的面积；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标.（1）【思路分析】根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式.解：∵直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，∴可得A（1，0），B（0，-3），把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：1+b+c=0b=2c=-3，c=-3，∴抛物线解析式为y=x2+2x-3；（2）【思路分析】由（1）求得的抛物线解析式，可求得点C的坐标，继而求出A

3、C的长度，代入三角形面积公式即可计算.解：令y=0得：0=x2+2x-3，解得：x1=1，x2=-3，则C点坐标为：（-3，0），AC=4，故可得S△ABC=AC·OB=×4×3=6；（3）【思路分析】根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为(-1,m)，分三种情况讨论：①MA=BA,②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案.解：存在，理由如下：抛物线的对称轴为：x=-1，假设存在M（-1，m）满足题意，分三种情况讨论：①当MA=AB时，,解得：m=±6，∴M1（-1，6），M2（-1，-6）；M1M2②当MB=BA时，,解得：m=0或m=-6，∴M3（-1，0），M4（-1

4、，-6）(不合题意舍去);(M4（-1，-6）在直线AB上。)③当MA=MB时，解得：m=-1，∴M5（-1，-1）.答：共存在四个点M1（-1，6）、M2（-1，-6）、M3（-1，0）、M5（-1，-1）使△ABM为等腰三角形.★探究等腰三角形的存在、探究问题时，具体方法如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；（2）当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底，哪条边是等腰三角形的腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等，得到三种情况；（3）设未知量，求边长．在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设

5、为（x，ax2+bx+c)；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（，y)），并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；（3）计算求解．根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质列等量关系式，根据等量关系求解即可.（4）探究等边三角形的存在、探究问题时，可以先求出该三角形为等腰三角形时的情况，然后求腰和底相等时的情况即可.2.探究直角三角形的存在、探究问题时,具体方法如下：（1）若为存在问题，则先假设存在，再进行下一步；若为探究问题，则直接进行下一步；（2）当所给的条件不能确定直角顶点时，分情况讨论，分别令三角形的某个角为90°；（3）设未知量，求边长，在每种情况

6、下，直接或间接设出所求点的坐标（若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x，ax2+bx+c)；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（，y)），利用所设点的坐标分别表示出三边的长，用勾股定理进行验证并求解.类型二特殊四边形的存在、探究问题典例精讲例1(’14济宁)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5,0）、B（-1,0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，

7、使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.例1题图（1）【思路分析】将A、B两点坐标代入抛物线解析式中得到方程组，然后求解方程组即可.解：∵y=x2+bx+c与x轴交于A（5,0）、B（-1,0）两点，∴0=×52+5b+cb=-10=-b+c,c=-，∴抛物线的解析式为y＝x2-x-；解得(2)【思路分析】求点A′的坐标，需过点A′作A′E⊥x轴于点E，再求A′E和OE的长，可以通过△