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1、线性代数教案第2章矩阵第2章矩阵（共8学时）一、教学目标与基本要求1．掌握矩阵的定义及矩阵的加减、数乘及矩阵的乘法的运算2．知道矩阵的转置、对称阵、反对称阵、行列式的概念及运算3．了解分块矩阵的定义及其运算4．掌握逆矩阵的概念及运算5．会利用矩阵的伴随及初等变换求矩阵的逆二、教学内容与学时分配1．矩阵的概念2．矩阵的基本运算（2学时）3．一些特殊矩阵4．分块矩阵（2学时）5．矩阵的秩6．初等变换与初等方阵（2学时）7．方阵的逆（2学时）三、教学内容的重点及难点重点：矩阵的初等变换及矩阵的逆难点：矩阵的逆，相应于矩
2、阵性质的综合性的证明题四、教学内容的深化与拓宽分块矩阵的应用五、思考题与习题思考题：将可逆矩阵分解成初等方阵之积习题：2，3，（2），（4），（6），7，13，（1），（3），14，（1），15，（2），（4）16，（1），（3），17，21，25，27，六、教学方式与手段本章主要是矩阵的一些基本运算，以讲授为主，在概念、性质等综合运用时注意用研讨式教学。1线性代数教案第2章矩阵讲稿内容2.1矩阵的概念⎡a11a12"a1n⎤⎢⎥aa"a定义由m×n个数a排成m行n列的一个数表⎢21222n⎥，这个表ij⎢""⎥
3、⎢⎥aa"a⎣m1m2mn⎦称为m行n列的矩阵，简称m×n矩阵，记为A=(a)，组成表中的m×n个数，ijm×n称为矩阵的元素，如a为矩阵的第i行j列的一个元素。ij元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩阵。m=1的矩阵称为行矩阵A=[aa"a]1×n11121n⎡a11⎤⎢⎥an=1的矩阵称为列矩阵A=⎢21⎥m×1⎢#⎥⎢⎥a⎣m1⎦m=n时称为m阶方阵。如单位阵E或I。元素全为0的矩阵称为零矩阵，记为0或O。如果两个矩阵的行列数相同，称它们是同型矩阵。在同型矩阵A=(a),B=(b)中若对应的
4、元素相同，即a=b，则称ijm×nijm×nijij矩阵A与B相等，即A=B⇔)1(都是m×n矩阵)2(,a=bijij注意行列数不同的零矩阵，虽然都用0表示，但它们不相等。2线性代数教案第2章矩阵2.2矩阵的基本运算2.2.1矩阵的加法定义如果A=(a),B=(b)都是m×n矩阵，则矩阵A与B的和记为A+B，ijij并规定A+B=(a+b)（对应元素相加）ijijm×n举例显然矩阵的加法满足下面运算规律：（1）交换律A+B=B+A（2）结合律(A+B)+C=A+(B+C)已知A=(a),称−A=(−a)为矩阵A
5、的负矩阵。有了负矩阵后可定义矩阵的ijij减法：A−B=A+(−B)（对应元素相减）2.2.2数与矩阵的乘法定义数λ与矩阵A=(a)的乘积记为λA或Aλ，并规定ijλA=Aλ=(λa)（即乘矩阵中的每一个元素，反之可知：可以提出矩阵中每个元ij素的公因子）注意：数与矩阵的乘法和数与行列式乘法的不同。数与矩阵的乘法满足下列运算规律：（1）结合律(λμ)A=λ(μA)=μ(λA)（2）矩阵对数的分配律(λ+μ)A=λA+μA（3）数对矩阵的分配律λ(A+B)=λA+λB⎡23−1⎤⎡13−9⎤⎢⎥⎢⎥例设有矩阵A=2
6、07,B=2510,求3A−2B.⎢⎥⎢⎥⎢⎣−105⎥⎦⎢⎣−11−1⎥⎦2.2.3矩阵与矩阵的乘法定义设A=(a),B=(b)，则称AB=C=()c为矩阵A与B的乘积，ijm×sijs×nijmn×3线性代数教案第2章矩阵其中c=ab+ab+"+abiji11ji22jissj即矩阵C中的元素c是A中的第行与iB中的第j列对应元素乘积之和ij⎡b11b12⎤⎡a11a12a13⎤⎢⎥例设A=⎥,B=bb，求AB.⎢aaa⎢2122⎥⎣212223⎦⎢bb⎥⎣3132⎦矩阵与矩阵的乘法满足下列运算规律（假设下面
7、的运算是可行的）：（1）结合律(AB)C=A(BC)（2）分配律A(B+C)=AB+AC（左分配）(B+C)A=BA+CA（右分配）（3）结合律λ(AB)=(λA)B=A(λB)1k+1k矩阵的方幂：设A为方阵，定义A=A,A=AA，则klk+lklklAA=A(,A)=A，注意这里的k,.l为正整数。注意：（1）矩阵乘法的非交换性。kkk一般地AB≠BA，(AB)≠AB可从下面三点进行说明：(1)乘法AB有意义,但BA没有意义,谈不上相等.如AB3224(2)乘法ABBA,均有意义,但不一定是同型矩阵,也谈不上
8、相等.如AB,.2332(3)乘法ABBA,均有意义,也是同型矩阵,但也不一定相等.⎡12⎤⎡21⎤⎡57⎤⎡58⎤例如A=⎢⎥,B=⎢⎥⇒AB=⎢⎥,BA=⎢⎥⎣34⎦⎣23⎦⎣1415⎦⎣1116⎦如果AB=BA，则称A与B可换。如AEE=AE=（2）零因子的存在性。在矩阵理论中，零矩阵是很特殊的，我们知道0+A=A+0,0A=,0A0=0（注意这里的0矩阵不一定是同
