一元二次方程解法.doc

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1、解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：　　1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。　1、直接开平方法：　　直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n(n≥0)的方程，其解为x=±√n+m.　　例1．解方程（1）(3x+1)^2;=7（2）9x^2;-24x+16=11　　分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)^2;，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。　　（1）解：(3x+1)^2=7　　∴(3x+1)^2=7　　∴3

2、x+1=±√7(注意不要丢解符号)　　∴x=﹙﹣1±√7﹚/3　　∴原方程的解为x?=﹙√7﹣1﹚/3,x?=﹙﹣√7-1﹚/3　　（2）解：9x^2-24x+16=11　　∴(3x-4)^2=11　　∴3x-4=±√11　　∴x=﹙4±√11﹚/3　　∴原方程的解为x?=﹙4﹢√11﹚/3,x?=﹙4﹣√11﹚/3　　2．配方法：用配方法解方程ax^2+bx+c=0(a≠0)　　先将常数c移到方程右边：ax^2+bx=-c　　将二次项系数化为1：x^2+b/ax=-c/a　　方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x^2+b/ax+(b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^2;　　方程左边

3、成为一个完全平方式：(x+b/2a)2=-c/a﹢﹙b/2a﹚²　　当b²-4ac≥0时，x+b/2a=±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²　　∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式)　　例2．用配方法解方程3x²-4x-2=0　　解：将常数项移到方程右边3x²-4x=2　　将二次项系数化为1：x²-﹙4/3﹚x=?　　方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+(4/6)²=?+(4/6)²　　配方：(x-4/6)²=?+(4/6)²　　直接开平方得：x-4/6=±√[?+(4/6)²]　　∴x=4/6±√[?+(4/6)²]　　∴原方程的解为x?=4/6﹢√

4、﹙10/6﹚,x?=4/6﹣√﹙10/6﹚.　　3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a),(b²-4ac≥0)就可得到方程的根。　例3．用公式法解方程2x²-8x=-5　　解：将方程化为一般形式：2x²-8x+5=0　　∴a=2,b=-8,c=5　　b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0　　∴x=[(-b±√(b²-4ac)]/(2a)　　∴原方程的解为x?=,x?=.　4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个

5、一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。　　例4．用因式分解法解下列方程：　　(1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x²+3x=0　　(3)6x²+5x-50=0(选学）(4)x2-2(+)x+4=0（选学）　　(1)解：(x+3)(x-6)=-8化简整理得　　x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式，右边为零)　　(x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式)　　∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程)　　∴x1=5,x2=-2是原方程的解。　　(2)解：2x

6、2+3x=0　　x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)　　∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程)　　∴x1=0，x2=-是原方程的解。