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时间:2020-03-25
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1、解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法: 1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。 1、直接开平方法: 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n(n≥0)的方程,其解为x=±√n+m. 例1.解方程(1)(3x+1)^2;=7(2)9x^2;-24x+16=11 分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)^2;,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。 (1)解:(3x+1)^2=7 ∴(3x+1)^2=7 ∴3
2、x+1=±√7(注意不要丢解符号) ∴x=﹙﹣1±√7﹚/3 ∴原方程的解为x?=﹙√7﹣1﹚/3,x?=﹙﹣√7-1﹚/3 (2)解:9x^2-24x+16=11 ∴(3x-4)^2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x=﹙4±√11﹚/3 ∴原方程的解为x?=﹙4﹢√11﹚/3,x?=﹙4﹣√11﹚/3 2.配方法:用配方法解方程ax^2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边:ax^2+bx=-c 将二次项系数化为1:x^2+b/ax=-c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x^2+b/ax+(b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^2; 方程左边
3、成为一个完全平方式:(x+b/2a)2=-c/a﹢﹙b/2a﹚² 当b²-4ac≥0时,x+b/2a=±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚² ∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式) 例2.用配方法解方程3x²-4x-2=0 解:将常数项移到方程右边3x²-4x=2 将二次项系数化为1:x²-﹙4/3﹚x=? 方程两边都加上一次项系数一半的平方:x²-﹙4/3﹚x+(4/6)²=?+(4/6)² 配方:(x-4/6)²=?+(4/6)² 直接开平方得:x-4/6=±√[?+(4/6)²] ∴x=4/6±√[?+(4/6)²] ∴原方程的解为x?=4/6﹢√
4、﹙10/6﹚,x?=4/6﹣√﹙10/6﹚. 3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b²-4ac的值,当b²-4ac≥0时,把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a),(b²-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3.用公式法解方程2x²-8x=-5 解:将方程化为一般形式:2x²-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±√(b²-4ac)]/(2a) ∴原方程的解为x?=,x?=. 4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个
5、一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4.用因式分解法解下列方程: (1)(x+3)(x-6)=-8(2)2x²+3x=0 (3)6x²+5x-50=0(选学)(4)x2-2(+)x+4=0(选学) (1)解:(x+3)(x-6)=-8化简整理得 x2-3x-10=0(方程左边为二次三项式,右边为零) (x-5)(x+2)=0(方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0(转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解:2x
6、2+3x=0 x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0(转化成两个一元一次方程) ∴x1=0,x2=-是原方程的解。
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