变量分离方程与变量变换.ppt

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1、第二章一阶微分方程的初等解法§2.1变量分离方程与变量变换定义1形如的方程,称为变量分离方程.2.1.1变量分离方程的求解例分离变量两边积分原方程的解为解注:例1求微分方程的所有解.解积分得分离变量故方程的所有解为化简整理，得解分离变量后得两边积分得整理后得通解为例2求微分方程的通解.例3求微分方程解将变量分离后得两边积分得由对数的定义有即故方程的通解为例4解两边积分得因而通解为再求初值问题的通解,所以所求的特解为我们已经知道变量分离方程总可用初等解法求解．另外，对有的微分方程，虽然表面上看不是变量分离方程，但若能通过

2、一次或几次变量变换化为变量分离的微分方程，则原方程也可用初等解法求解．下面介绍几种典型的可通过适当的变量变换，化为变量分离的微分方程类型．2.1.2可化为变量分离方程的类型（Ⅰ）齐次方程（Ⅱ）形如方程称为齐次方程,求解方法（Ⅰ）形如例5求解方程解方程变形为这是齐次方程,分离变量，得即两边积分得代入原来变量,得原方程的解为即当时例6求下面初值问题的解解方程变形为这是齐次方程,将变量分离后得两边积分得整理后得变量还原得故初值问题的解为分三种情况讨论为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.的方程可经过变量变换化为变量分离方程

3、.（Ⅱ）形如这就是变量分离方程作变量代换(坐标变换)则方程化为为(10)的情形,可化为变量分离方程求解.则解的步骤:例7求微分方程的通解.解解方程组将变量分离后得两边积分得变量还原并整理后得原方程的通解为注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.此外,诸如以及例8求下述微分方程的通解解代入方程并整理得即分离变量后得两边积分得变量还原得通解为2.1.3应用举例例8、雪球的融化设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体

4、积随时间变化的关系．解根据球体的体积和表面积的关系得分离变量并积分得方程的通解为由初始条件得代入得雪球的体积随时间的变化关系为作业：P421（4）（5）（6）P432（1）（3）（6）（7）3