2-1变量分离方程与变量替换

《2-1变量分离方程与变量替换》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章一阶微分方程的初等解法初等解法:通过积分求解常微分方程的一种方法,其特点是微分方程的解可用初等函数以及初等函数的积分形式来表示.方程类型：本章内容：§2.1变量分离方程与变量变换§2.2线性方程与常数变易法§2.3恰当方程与积分因子§2.4一阶隐式方程与参数表示一阶微分方程：仅含一阶导数。显式形式:隐式形式：初值条件：通解：§2.1变量分离方程与变量变换一、变量分离的微分方程形式为或的方程称为变量分离的微分方程。易于化为形式通过积分即可求得方程的解。方程右边可写成x的函数f(x)与y的函数g(y)的乘积.隐式解分离变量法解法：为微分方程的解.凑微分换元左右分别对y,x积分。解法步

2、骤：如果(1)分离变量(2)两边积分用G(y)，F(x)分别表示的某一个原函数(3)方程（2.1）的通解为G(y)=F(x)+C例1求解微分方程解：分离变量两端积分是方程的解，且可含在通解式中。8解时(1)分离变量(3)求解方程并求出满足初始条件:当x=0时y=1的特解.例2.(c为任意常数)为方程的通解.注意y=0时,也是方程的解,而其并不包含在通解中,因而方程还有解y=0.(2)两边积分9求特解将初始条件y(0)=1代入通解中,得c=-1则满足所给条件的特解为:所以,原方程的解为例3.解:变量分离两边积分：化简得：代入例5作业：P421(4,7,8)。换未知函数通解为解无法拆开隐式

3、通解例6.二、可化为变量分离的方程二、可化为变量分离的方程作变量代换可分离变量方程特征：每一项中的x幂次+y的幂次是定值。可分离变量的方程的微分方程称为2.解法作变量代换代入原式1.定义齐次方程.(1)齐次方程19解法(1)作变量变换即y=ux(2)对两边关于x求导(3)将上式代入原方程，得整理…….(2.3)变量可分离方程(4)求解方程(2.3),若其解为:(5)原方程的通解为:20解法(1)作变量变换即y=ux(2)对两边关于x求导(3)将上式代入原方程，得整理…….(2.3)变量可分离方程(4)求解方程(2.3),若其解为:(5)原方程的通解为:21例7.求解方程解:方程变形为这

4、是齐次方程,即将变量分离后得22两边积分得:即代入原来变量,得原方程的通解为例8求解微分方程微分方程的通解为解例9求解微分方程解微分方程的解为(2)可化为齐次型的方程为齐次方程.（h和k是待定的常数）否则为非齐次方程.2.解法1.定义(2)可化为齐次型的方程为齐次方程.否则为非齐次方程.1.定义2.若,即设则原方程可化为:令(变量分离方程,即可求解)292.若则………..(2.6)有唯一的解:令则方程(2.5)化为：为齐次方程,即可求解.30(1)解代数方程组……….(2.6)其解为:(2)作变换将方程(2.5)化为齐次方程(3)再作变换将其化为变量分离方程特别地,当时,方程(2.5)

5、的求解方法(4)求解上述变量分离方程,最后代回原变量即可得原方程的解.解代入原方程得系数不成比例例分离变量法得得原方程的通解方程变为例11求解微分方程解令再令两边积分后得变量还原得三.利用变量代换求微分方程的解系数成比例例12求解微分方程解令令令两边同时积分得变量还原后得通解其他类型：解代入原方程原方程的通解为本章要求：熟练掌握一些重要的常见的一阶方程的类型及其求解方法.注意:正确判断方程的类型本节小结：注意:通解形式及其中任意常数的意义.变量分离方程:(1)特点;(2)解法。可化为变量分离的方程:(1)齐次方程;(2)可化为齐次方程的类型作业：P421(6,9)，2(2,3,5,6)

6、3(2)，5