固体物理第二章.ppt

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1、固体的弹性性质：固体的范性性质：假设无形变的晶体内部粒子排列在其平衡位置，在外力作用下粒子偏离原来的平衡位置。由于晶体结构的各向异性，各方向上粒子偏移程度不同，从而使宏观的形变各向异性；---------------晶体内部粒子沿各方向偏移程度的差异，使粒子恢复到原来平衡位置所产生的内应力也随方向不同。显然，晶体的弹性性质也是各向异性的，需要用张量来描述。§2.8应力、应变、胡克定律称为并矢，作为张量的9个基。一般张量可写为张量：（二阶）张量是具有9个分量的物理量。设直角坐标系的单位基矢量为张量的9个分量写为用矩阵表示一、应力张量1、应力定义：固体受到外力

2、时，内部产生的抵抗形变的弹性恢复力。弹性恢复力：物体受外力作用发生形变，分子（质点）就偏离其平衡位置。此时每个分子受周围分子的作用产生—个趋向于使其恢复到平衡位置的力。一个物体处于受力状态，一般有两种情况：*物体整个体积受力并且力的大小与物体的体积成正比，这称为彻体力，例如重力；*另一种情况是物体受到压缩、拉伸或扭转、弯曲的作用而发生形变时，在物体内部的任一部分和它周围相邻部分之间将产生相互作用力，这种力的大小与相接触部分表面积的大小成正比，而力与面积之比就称为应力。即在固体形变时，作用在固体中单位面积上的力。应力定义：直角坐标系中，（x,y,z）点，以x

3、,y,z为外法线的面积元上的应力分别为yySTD-此处i,j=x,y,z第一下标i表示应力的方向，第二下标j表示应力所作用的面的法向。作用在立方体上的应力张量元例如作用在垂直于X轴的单位面积上沿X方向的应力是Txx。这类应力是垂直于表面的，称为正应力，代表张力或压力;作用在垂直于X轴的单位面积上沿Y方向的应力是Tyx。这类应力是沿着表面的，即平行于表面的切向，代表切应力。应力张量矩阵表达式晶体中某点(x.y.z)的应力状态对应9个应力分量用矩阵表示，即作用在立方体上的应力张量元在静力平衡条件下，内应力作用在物体上的总力矩等于零。物理意义：当不存在体积转矩时

4、，在相互垂直的面上，垂直于该二面交线的切应力相等。即，应力张量是对称的二级张量，它只有六个独立的张量元。常用符号Th代表应力分量：作用在单位体积元上的力与应力张量元的关系如图所示，沿x方向力的分量有三个：三式相加，可得作用在体积元ΔxΔyΔz上的力的x分量为：作用在体积元上的应力作用在单位体积上的力的x分量为：作用在体积元上的应力同理，可得作用在单位体积上的力的y、z分量：二、应变张量当晶体形变时，晶体内任意两点间的距离都会发生形变:介质间发生的相对位移，称之为应变。如图，在固体中取xy平面，P为任一点，PA＝Δx，PB＝Δy，PA平行x轴，PB平行于y轴

5、，由于形变，P，A，B三点分别移到质点位移表示计算沿坐标轴方向线元的伸缩形变：线段在长度方向上的相对伸长（或缩短）量称为正应变，PA的正应变为：PB线段的正应变坐标轴间夹角的变化：从图可知，PA、PB线段发生正应变的同时，其方向也发生了变化:PA转过的角度为PB转过的角度为定义：PA与PB线段的偏转角之和为切应变同理，对于yz和xz平面，可求得由以上可知，某一点的应变有9个分量，用矩阵表示，则为应变张量是个对称二级张量，只有6个独立的元。如果把双下标按下列对应关系换成单下标并规定：则与应变有关的许多公式可进一步简化，运算中，应变张量常被写成一个六元纵列矩阵

6、。三、胡克定律、晶体弹性模量胡克定律指出，在弹性形变下，应力与应变存在线性关系，其数学表达式为：可以写成矩阵的形式或统一表示为：系数cλμ称为晶体的弹性模量。我们也可以把晶体的应变和应力的关系写成如下形式：系数Sλμ称为弹性系数，从上面两式可以看出，弹性模量张量和弹性系数张量是互逆的，即：四、弹性模量的对称性通过求解晶体的应变能（应力作功使晶体的位能增加量），可以证明，cλμ具有交换脚标的对称性，即：cλμ＝cμλ因此，矩阵（C）为一对称矩阵，只有21个独立元素。如果晶体具有对称性，独立元素的数目还要减少。对六角晶系，只剩下五个独立的晶体张量元；而对称性最

7、大的立方晶系，如果将坐标轴取作立方体轴，矩阵只有三个不为零的矩阵元。下面，我们以立方晶系为例，通过变换下标的方法来说明。以三个4度轴为坐标轴，先绕z轴转90度，则坐标将按以下方式变换：或简写为：于是在四个下标的四阶张量中，下标的变换方式如下：注意：弹性模量是四阶张量，具有四个下标，它的前两个下标和后两个下标分别具有对称性，因此我们通常采用以下方法简化下标来代替双下标，对应关系如下：xy于是弹性模量中21个独立分量的下标，将发生如下变换：用简化下标时：此处略去左下方的一半，因为它是对称的。由于是对称操作，变换前后的各对应项应相等，从而有：项不变；最后得矩阵形

8、式为：然后再绕y轴或x轴旋转90度，坐标变换分别按以下方式变换：则