吴云宗--实用高等数学电子教案第8章 常微分方程.ppt

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1、第八章常微分方程8.1微分方程的基本概念8.2一阶微分方程8.3可降阶的二阶微分方程8.4二阶常系数线性微分方程【开篇案例】案例8.1请你破案——凶杀案是何时发生的？第八章常微分方程【学习目标】第八章常微分方程1．微分方程和概念，解法。2．可降阶的二阶微分方程。3．二阶线性微分方程解的结构。4．二阶常系数齐次线性微分方程的解法。8.1微分方程的基本概念1.实例引例1一平面曲线上任意一点处的切线垂直于该点与原点的连线（即曲线上任意一点的法线通过原点），试建立该曲线满足的方程。第八章常微分方程解：设所求曲线为y=f(x)，其

2、上任意一点P(x,y)处的切线斜率为，而点P与原点的连线斜率为，据题意应有，即这就是曲线应满足的方程，它包含自变量，未知函数及其导数。解这个方程就得所求曲线。8.1微分方程的基本概念引例2（自由落体运动）一质量为m质点，在重力的作用下自由下落，求其方程。解：取如图所示坐标系由牛顿第二定律，可知运动方程为或8.1微分方程的基本概念引例3（连续复利）设银行实行如下计息方法：在任一时刻t的存款总额P(t)（本息和）的变化率与P(t)成正比，即解上述方程可得任一时刻t的存款总额。8.1微分方程的基本概念2.微分方程的基本概念定义

3、8.1联系自变量、未知函数及未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程。未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程。8.1微分方程的基本概念定义8.2微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。定义8.3如果把某个函数及其导数代入微分方程中，能使该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解。8.1微分方程的基本概念定义8.4如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。通解中的任意常数取某一特定值时的

4、解，称为微分方程的特解，即不含任意常数的解。8.1微分方程的基本概念定义8.5给定微分方程的未知函数及其各阶导数在指定点的函数值的条件，称为初始条件，即用于确定通解中任意常数的条件。求微分方程满足初始条件的特解的问题，称为初值问题。8.1微分方程的基本概念例1一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。解：由题意可知即微分方程的通解为所求曲线方程为8.1微分方程的基本概念8.2一阶微分方程1.可分离变量的微分方程定义8.6形如的微分方程，称为可分离变量的微分方程。第八章常微

5、分方程例4求微分方程的通解。解:此方程是可分离变量的，分离变量后得两端积分得从而方程的通解为8.2一阶微分方程例6铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。已知t=0时铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律。8.2一阶微分方程解：铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数。由于铀的衰变速度与其含量成正比，故得微分方程初始条件为分离变量得两边积分，得即由初始条件，得8.2一阶微分方程习题：有高为1m的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积为1。开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器

6、里水面高度h随时间t变化的规律。8.2一阶微分方程开篇案例“案例8.1--凶杀案是何时发生的”解答人的正常体温是37℃，人死后，尸体的温度将按照牛顿冷却定律开始变凉。假设两小时后尸体温度变为，35℃并且假定周围空气的温度保持20℃不变。现请你协助公安人员完成以下工作：（1）求出谋杀发生后尸体的温度H是如何作为时间t（单位：小时）的函数随着时间变化的；（2）画出温度——时间曲线；（3）最终尸体的温度将如何？用图形和公式两种方法表示出这一结果；（4）如果尸体被发现时的温度是30℃，时间是下午4时，那么谋杀是何时发生的？8.2

7、一阶微分方程解：（1）首先按照牛顿冷却定律建立方程两边积分得根据已知条件可知于是，温度函数为8.2一阶微分方程（2）温度以指数曲线下降，并以H=20为一条水平渐近线。（3）上图表明：当时，。从代数上上考虑亦可，因为当时，，于是8.2一阶微分方程（4）我们想知道经过多长时间尸体温度达到30℃。把H=30代入解的方程中，并求解t，有于是，谋杀一定是发生在下午4时尸体被发现时的前8.4小时即8小时24分,所谋杀是在上午7时36分发生的。8.2一阶微分方程解决实际问题的过程（1）建立反映这个实际问题的微分方程；（2）按实际问题写

8、出初始条件；（3）求解方程的通解；（4）由初始条件定出所要求的特解；（5）根据所得的结果解释实际问题，从而可以预测到该物理过程的一些特定性质。8.2一阶微分方程一只游船上有800人，一名游客患了某种传染病，12小时后有3人发病。由于这种传染病没有早期症状，故感染者不能被及时隔离。直升机将在60小时至72小时之间将疫苗