吴云宗--实用高等数学电子教案第6章 不定积分.ppt

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1、第六章不定积分6.1原函数与不定积分6.2不定积分的性质及几何意义6.3不定积分的运算6.4不定积分的简单应用【开篇案例】案例6.1王宫的装修工程承包问题在教堂顶部重新贴金箔装饰时，如何计算半椭球面的面积，以确定金箔的用量？第六章不定积分【学习目标】第六章不定积分1.原函数、不定积分。2.基本积分公式。3.有理分式函数的积分。4.不定积分的简单应用。6.1原函数与不定积分1.原函数的概念定义6.1：设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x)，使得对任何x∈I，均有或则称函数F(x)为f(x)在区间I上

2、的一个原函数。第六章不定积分定理6.1若F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则F(x)加上任何一个常数C也都是f(x)的原函数。推论：一个函数的任意二个原函数之间只相差一个常数。6.1原函数与不定积分2不定积分的定义定义6.2如果函数f(x)存在原函数F(x)，则称f(x)的全体原函数F(x)+C为函数的不定积分，并将f(x)的全体原函数记为6.1原函数与不定积分例1：求下列不定积分（1）解：是的一个原函数，所以6.1原函数与不定积分3.基本积分公式（1）（2）（3）（4）…………………………….6.1原

3、函数与不定积分6.2不定积分的性质及几何意义1.不定积分的性质性质6.1或性质6.2或第六章不定积分性质6.3性质6.46.2不定积分的性质及几何意义2.不定积分的几何意义例2已知曲线y=f(x)在任意一点x处的切线斜率为2x,且曲线通过点（1，2），求此曲线方程。解：由导数的几何意义知：这说明函数y=f(x)是2x的一个原函数，由不定积分定义知6.2不定积分的性质及几何意义又因为，这说明函数是2x的一个原函数，由不定积分定义知所以有6.2不定积分的性质及几何意义6.3不定积分的运算1.直接积分法例3求下列不定

4、积分（1）第六章不定积分例4求下列不定积分（1）6.3不定积分的运算习题：求下列不定积分（1）（2）6.3不定积分的运算例6求下列不定积分解：原式6.3不定积分的运算2.换元积分法例7计算不定积分（1）（2）（1）第一换元积分法（“凑微分法”）6.3不定积分的运算分析：显然6.3不定积分的运算一般地：因为①②6.3不定积分的运算例9计算（1）6.3不定积分的运算一般地：因为6.3不定积分的运算例10计算：6.3不定积分的运算一般地：因为6.3不定积分的运算一般地：因为例11计算：6.3不定积分的运算例12计算：

5、解：因为所以6.3不定积分的运算一般地：因为6.3不定积分的运算换元积分法基本思路是：为了求或设法将或就有或6.3不定积分的运算（２）变量置换法（也称第二换元积分法）6.3不定积分的运算定理6.2第二换元积分法对于积分，设函数x=g(t)可微，其反函数存在且可微，若则6.3不定积分的运算例20计算不定积分解：令，则原式6.3不定积分的运算3．分部积分法6.3不定积分的运算例276.3不定积分的运算对形为型的不定积分，其中p(x)为整式（包括单项式与多项式），由于有，一般按然后，再进行分部积分。6.3不定积分的运

6、算例296.3不定积分的运算对形为或型的不定积分，由于有一般按然后，再进行分部积分。6.3不定积分的运算例31计算6.3不定积分的运算对形为或型的不定积分（其中P(x)为整式），这时反三角不易凑成形式，一般化然后，再进行分部积分。6.3不定积分的运算例33计算6.3不定积分的运算对形为型的不定积分（其中p(x)为整式），由于对数式lnxdx不易凑成dv(x)形式，一般变然后，再进行分部积分。6.3不定积分的运算例34计算解法一：由原式6.3不定积分的运算解法二由原式6.3不定积分的运算规律：一般地，对被积函数为

7、“指数×三角”型的不定积分，“变谁都可以，但一般要经过两次分部积分，且每次分部积分的变化应一致”。6.3不定积分的运算4.一种特殊的不定积分方法例35计算解：令则可做下表：f(x)及其导数g(x)及其积分（+）（－）（+）6.3不定积分的运算解：令则可做下表：例35计算f(x)及其导数g(x)及其积分（+）（－）（+）（－）6.3不定积分的运算6.4不定积分的简单应用已知某公司的边际成本函数，边际收益函数为，设固定成本是10000万元，试求此公司的成本函数和收益函数，并求产量为多少时，利润最大？第六章不定积分解

8、：因为边际成本函数为所以，成本函数为又因固定成本为10000万元，即c(0)=10000，即成本函数为：6.4不定积分的简单应用（２）因为边际收益为：又当x=0时，故所求的收益函数为6.4不定积分的简单应用