2020届天津市南开中学高三数学开学统练试题（解析版）.doc

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1、2020届天津市南开中学高三数学开学统练试题一、单选题1．设集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】求出后可求.【详解】，故，故选:D.【点睛】本题考查集合的运算，此类问题属于基础题.2．设，则“”是“”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．3．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=P

2、C，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为第19页共19页A．B．C．D．【答案】D【解析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为、中点，，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即，故选D．解法二:设，分别为中点，第19页共19页，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，，为中点，，，，，又，两两垂直，，，，故选D.【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两

3、互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．4．已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为A．B．C．2D．【答案】D【解析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．【详解】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有∴，，，第19页共19页∴．故选D．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．5．已知，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用等中间值区分各个数值的大小．【详解】，，，故，所以．故选A．【点睛】本题考查大小比较问题

4、，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．6．设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】因为表示不超过的最大整数．由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，第19页共19页由得，与矛盾，故正整数的最大值是4．【考点】函数的值域，不等式的性质．7．已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】只需根据函数性质逐步得出值即可。【详解】因为为奇函数，∴；又，，又∴，故选C。【点睛】本题考查函

5、数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数。8．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．【详解】第19页共19页∵，即，（1）当时，，当时，，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以．当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．二、填空题9．展开式中的常数项为________.【答案】【解析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方

6、程思想得出的值，再求出其常数项．【详解】，由，得，所以的常数项为.【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的．第19页共19页10．设，则的最小值为______.【答案】【解析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．【详解】，当且仅当，即时成立，故所求的最小值为．【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．11．在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则__________.【答案】.【解析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解。【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，。因为∥，，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为

7、，直线的斜率为，其方程为。第19页共19页由得，，所以。所以。【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。12．已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________．【答案】4【解析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案.【详解】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．故答案为4【点睛】解决直线与圆的综合问题