中学数学教学研究.doc

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1、《中学数学教学研究》期末复习综合练习四（综合题）1.己知菱形的边长等于两条对角线的比例屮项，求菱形的锐角。请用三种方法求解此题，并说明“一题多解”对培养学生创造性思维及数学能力的作用。2・5人排成一排，甲不能站在首位和末尾，有多少不同种的排法？请用两种方法求解此题，并说明“一题多解”对培养学生创造性思维及数学能力的作用。3.什么是反证法？它的逻辑基础是什么？用反证法证明：若b,c都是奇数，则方程ax2+bx+c二0不可能存在有理根。4.什么是反证法？它的逻辑基础是什么？用反证法证明"为无理数。5.什么是归纳推理？举例说明它在数学学习中的作用。6.何谓第一数学归纳法？用第一数学

2、归纳法证明：若d〉0,则对于任一自然数n,有（1+a）"nI+neto7.何谓第二数学归纳法？用第二数学归纳法证明（3+V5f+（3-V5）z,是2"的倍数。8.试按波利亚的解题四步骤来分析下题的解题过和在AABC中，ZA、ZB.ZC所对的边分别是a、b、c,且c二10,cosA/cosB=b/a=4/3,P为AABC内切圆上的动点。求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最小值与最大值。9.在厶ABC中,ZA、ZB、ZC所对的边分别是a、b、c,且c=10,cosA/cosB=b/a=4/3,P为AABC内切圆上的动点。求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最小值与最大值。求

3、解此题，并结合此题的解题过程说明影响问题解决的因素有哪些？（至少举出四种因素）10.课堂教学是学校教学活动屮最重要、具有实质性价值的环节和教学形式，结合你个人的实际体会，谈谈怎样才能上好数学课。【参考答案和提示】1.答：（1）三种解法（略）（2）创造性思维的含义、特点及其培养：根据心理学家林崇徳教授的研究，创造性思维具有如下五个重要特点：%1新颖、独特且有意义的思维活动；②思维加想象是创造性思维的两个重要成分；③在创造性思维过程屮，新形彖和新假设的产生有突然性，常被称为“灵感”；④分析思维和肓觉思维的统一；⑤创造性思维是发散思维与辐合思维的统一。发散思维就是对熟悉的事物，能够

4、采用新的方法或从新的角度加以研究，从而在相同或相似Z屮看出不同的思维形式。此题可以用余弦定理求解；从菱形的曲积考虑；用解析法求解等多种方法(解法略)。学生可以从多角度、多方面探索问题的求解方法，开阔思路。所以说，数学屮的一题多解、一题多变虽是传统方法,但确是培养学生发散思维的一种好方法。(3)数学能力的含义、结构及其培养数学能力是与数学活动相适应，保证数学活动顺利完成的心理条件。数学能力的主要成分：感知数学材料形式化的能力；对数学对象、数和空间的关系的抽象概括能力；运用数学符号进行推理的能力；运用数学符号进行运算的能力；思维转换能力；记忆特定数学符号、抽象的教学原理和方法、形

5、式化的数学关系结构的能力。思维转换能力是从一种心理运算转变为另一种心理运算的能力，是数学能力的一个重要组成部分。通过“一题多解”问题可以使学生摆脱习惯的思路和常规的解题模式的束缚，促进思维转换能力的提高。创造性思维及数学能力的培养离不开数学活动、也离不开解题活动。在数学教学屮，采用“一题多解”的教法，引导学生评价各种不同解法的特点及其优劣,不但能提高学生的学习兴趣，而且对于提高解题能力、优化解题思路、增强发散思维能力和思维转换能力，进而培养学生的创造性思维及数学能力是有很大好处。［提示］该题目涉及第四章和第八章两章的内容，属于难度稍大的题。2・答：(1)方法一：方法二：Al-

6、AA^(2)(3)(同前题)［提示］该题仅更换了实例部分，其它均与前一题相同。实际上这类题忖考察的是两方血的内容，一是应试者本人会用多种解法解决实际问题，二是理解创造性思维的特点和数学能力的含义与结构，在此基础上来阐述一题多解对培养创造性思维和数学能力的作用。可见示者要占比较大的分最。所以在冋答时T力-不能因为一时想不出实例的多种解法而放弃答题。3.解：反证法是一种假设题断的反面成立，在已知条件和“否定题断”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定题断的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的证明方法。反证法的逻辑基础

7、是逻辑等价式p—q三p^qm证明：假设方稈存在有理根匕（p,q互为质数），q原方程"（£）2+几（£）+_诉+锣+灯（1）qqq「因p,q互为质数，所以p,q或者都为奇数，或者一个是奇数，一个是偶数。当P，q都为奇数时，（1）式分子为三个奇数Z和，不可能为零。即（1）式不等于零，与左q是方程的根矛盾。当P，q一个是奇数，一个是偶数时，不妨设P为偶数，q为奇数。（1）式分了为两个偶数和一个奇数的和，不可能为零。即（1）式不等于零，与左是方程的根矛盾。q综上，方程不可能有有理根。［提示］该题目主要涉及第五章