指数与对数运算及大小比较教案.doc

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1、指数、对数及其运算知识点：1．根式的概念一般地，如果，那么叫做的次方根。的次方根用符号表示．式子叫做根式（radical），这里叫做根指数（radicalexponent），叫做被开方数（radicand）．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0。2．分数指数幂规定：(1)零指数幂(2)负整数指数幂(3)正分数指数幂；(4)负分数指数幂(5)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.3．有理指数幂的运算性质（1）·；（2）；（3）．（4）（5）当是奇数时，当是偶数时，4.无理指数幂一般地，无理数指数幂是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样

2、适用于无理数指数幂．5．对数的概念一般地，如果，那么数叫做以为底的对数（Logarithm），记作：—底数，—真数，—对数式两个重要对数：常用对数（commonlogarithm）：以10为底的对数；自然对数（naturallogarithm）：以无理数为底的对数的对数．6.对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数←→幂底数对数←→指数真数←→幂7.对数的性质（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：；（3）底数的对数是1：；（4）对数恒等式：；（5）．8.对数的运算性质如果，且，，，那么：·＋；－；．9.换底公式（，且；，且；）．利用换底公式可推导

3、下面的结论（1）对数的降幂公式：；（2）“六法”比较指数幂大小　　对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．1．转化法例1　比较与的大小．解：∵，　　∴．　　又∵，　　∴函数在定义域上是减函数．　　∴，即．评注：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．２．图象法例2　比较与的大小．解：设函数与，则这两个函数的图象关系如图．当，且时，；当，且时，；当时，．评注：对于不同底而同指数的指

4、数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3．媒介法例3　比较，，的大小．解：∵，∴．评注：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．４．作商法例４　比较与（）的大小．解：∵，又∵，∴，．∴，即．∴．评注：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．5．作差法例5　设，，且，试比较与的大小．解：．（1）当时，∵，∴．　又∵，，从而．∴．∴．（2）

5、当时，∵，即．又∵，∴，，故．∴．∴．综上所述，．评注：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．　6．分类讨论法　　例6　比较与（，且）的大小．　　分析：解答此题既要讨论幂指数与的大小关系，又要讨论底数与１的大小关系．　　解：（１）令，得，或．　　①当时，由，　　从而有；　　②当时，．　　（2）令，得，．　　（3）令，得．　　①当时，由，　　从而有；　　②当时，．　　评注：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类

6、标准．