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时间:2020-03-22
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1、第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题的概念用语言、符号或式子表达的,可以的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做,判断为假的语句叫做.判断真假真命题假命题2.四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系:(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题,它们有的真假性;②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q,则p是q的条件,q是p的条件.(2)如果p⇔q,那么p与q互为.(3)如果pq,且qp,则p是q的.相同没有关系充分必要充要条件既不充分
2、又不必要条件1.“命题的否定”就是“否命题”这种判断是否正确?为什么?【提示】不正确,①概念不同,命题的否定是直接对命题的结论否定;否命题是对原命题的条件和结论分别否定.②构成不同,对于“若p,则q”形式的命题,命题的否定为“若p,则綈q”;其否命题是“若綈p,则綈q”,③真值不同,命题的否定与原命题真假相反;而否命题与原命题真假无关.2.命题“若p,则q”的逆命题为真,逆否命题为假,则p是q的什么条件?【提示】由逆命题为真,知q⇒p;逆否命题为假,知pq;故p是q的必要不充分条件.1.(人教A版
3、教材习题改编)下列命题正确的是()①“a>b”是“a2>b2”的充分条件;②“
4、a
5、>
6、b
7、”是“a2>b2”的必要条件;③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件;④“a>b”是“ac2>bc2”的充要条件.A.②④B.②③C.②③④D.③④【解析】由于
8、a
9、>
10、b
11、⇔a2>b2,a>b⇔a+c>b+c,故②③正确.由于a>ba2>b2,且a2>b2a>b,故①错;当c2=0时,a>bac2>bc2,故④错.【答案】B2.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命
12、题是()A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3【解析】命题“若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”,将条件与结论进行否定.∴否命题是:若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3.【答案】A【答案】C4.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】原命题正确,从而其逆否命题正确;其逆命题为“若a
13、>-6,则a>-3”是假命题,从而其否命题也是假命题,故选B.【答案】B5.(2012·天津高考)设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】若φ=0,则f(x)=cosx是偶函数,但是若f(x)=cos(x+φ)是偶函数,则φ=π也成立.故“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件.【答案】A(1)命题p:“若a≥b,则a+b>2012且a
14、>-b”的逆否命题是()A.若a+b≤2012且a≤-b,则a<bB.若a+b≤2012且a≤-b,则a>bC.若a+b≤2012或a≤-b,则a<bD.若a+b≤2012或a≤-b,则a≤b(2)下列命题中为真命题的是()A.命题“若x>y,则x>
15、y
16、”的逆命题B.命题“x>1,则x2>1”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题【尝试解答】(1)“且”的否定是“或”,根据逆否命题的定义知,逆否命题为“若a+b≤2012或a≤-b,则a
17、<b”,故选C.(2)A中逆命题为“若x>
18、y
19、,则x>y”是真命题;B中否命题为“若x≤1,则x2≤1”是假命题;C中否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”是假命题;D中原命题是假命题,从而其逆否命题为假命题.【答案】(1)C(2)A,【思路点拨】(1)直接根据逆否命题的定义写出,但应注意“且”的否定是“或”.(2)分清命题的条件与结论,写出原命题的逆命题、否命题后再判断真假.(1)命题“若x、y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是()A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数B.若x+y是偶
20、数,则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数(2)(2013·启东模拟)已知命题p:若a>0,则方程ax2+2x=0有解,则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为______.【解析】(1)“x+y是偶数”的否定为“x+y不是偶数”,“x,y都是偶数”的否定为“x,y不都是偶数”.因此其逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”.故选C.(2)命题p是真命题,从而其逆否命题也是真命题;命题p的逆命题是“若
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