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1、命题与充要条件(2)1、定义1:如果已知pq,则说p是q的充分条件。定义2:如果已知qp,则说p是q的必要条件。定义3:如果既有pq,又有qp,就记作pq,则说p是q的充要条件。①pq,相当于PQ,即PQ或P、Q②qp,相当于QP,即QP或P、Q③pq,相当于P=Q,即P、Q类型1:各种条件的判断例题1)对任意实数a,b,c,给出下列命题:①“a=b”是“ac=bc”充要条件;②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中
2、真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4•练习1).命题甲:x+y≠3,命题乙:x≠1或y≠2.则甲是乙的条件.类型1:各种条件的判断例题2)已知a、b、c为非零平面向量。甲:a·b=a·c,乙:b=c,则()(A)甲是乙的充分条件但不是必要条件(B)甲是乙的必要条件但不是充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件。类型1:各种条件的判断•练习2)已知α,β是两个不同的平面,直线a在α内,直线b在β内.命题p:a,b无公共点;命题q:α//β;则p是q的()(A)充分条件
3、不必要条件(B)必要条件不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件。小结1:处理这类问题的关键是根据定义确定哪是条件,哪是结论,利用定义解题。类型2:充要条件的证明例题3)设x,y∈R,求证
4、x+y
5、=
6、x
7、+
8、y
9、成立的充要条件是xy≥0分析:充分性是证:若xy≥0,则
10、x+y
11、=
12、x
13、+
14、y
15、必要性是证:若
16、x+y
17、=
18、x
19、+
20、y
21、,则xy≥0,注意分类讨论证明:充分性:若xy=0,则(1)x=0,y≠0;(2)y=0,x≠0;(3)x=0,y=0,于是
22、x+y
23、=
24、x
25、+
26、y
27、。若xy>
28、0,即x>0,y>0,或x<0,y<0当x>0,y>0时,
29、x+y
30、=x+y=
31、x
32、+
33、y
34、当x<0,y<0时,
35、x+y
36、=-x-y=
37、x
38、+
39、y
40、总之当xy≥0时,
41、x+y
42、=
43、x
44、+
45、y
46、必要性:由
47、x+y
48、=
49、x
50、+
51、y
52、。得
53、x+y
54、2=(
55、x
56、+
57、y
58、)2即x2+2xy+y2=x2+2
59、xy
60、+y2即
61、xy
62、=xy,得xy≥0练习3):若ab≠0,证明a3+b3+ab-a2-b2=0的充要条件是a+b=1小结2:充要条件的证明不仅要证充分性,而且要证必要性类型3:反证法的应用例题4)设函数f
63、(x)=2x2+mx+n,求证:f(1)
64、,
65、f(2)
66、,
67、f(3)
68、中至少有一个不小于1分析:由于要证结论的繁杂,不妨从反面入手,故采用反证法类型3:反证法的应用证明:假设原命题不成立,即f(1)
69、,
70、f(2)
71、,
72、f(3)
73、中都小于1
74、f(1)
75、112mn1.......(1)则
76、f(2)
77、1,182mn1......(2),
78、f(3)
79、11183mn1.....(3)(1)+(3)得-11<2m+n<-9,与(2)矛盾,所以假设不成立,所
80、以f(1)
81、,
82、f(2)
83、,
84、f(3)
85、中至少有一个不小于1小结3:较适宜使用反证法的常见情况有:(1)以“至少…”或“至多…”的形式出(2)涉及唯一性,存在性的问题;(3)以否定形式为结论;(4)从反面更易入手反证法步骤有:(1)作出与原命题相反的假设,(2)推出矛盾,(3)否定假设,肯定原命题类型3:反证法的应用练习4)设函数f(x)是R上的增函数:(1)若a+b≥0,是否有f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)?(2)若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),是否有a+b≥0?以上两结论
86、如正确,给出证明类型4:利用充要条件求参数例题4)已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0,a∈R求方程有两个正根的充要条件1a00分析:利用根与系数的关系可得xx012进一步可求解xx012