命题与充要条件(2).ppt

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1、命题与充要条件(2)1、定义1：如果已知pq，则说p是q的充分条件。定义2：如果已知qp，则说p是q的必要条件。定义3：如果既有pq，又有qp，就记作pq，则说p是q的充要条件。①pq，相当于PQ，即PQ或P、Q②qp，相当于QP，即QP或P、Q③pq，相当于P=Q，即P、Q类型1：各种条件的判断例题1）对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中

2、真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4•练习1）.命题甲：x+y≠3，命题乙：x≠1或y≠2.则甲是乙的条件.类型1：各种条件的判断例题2）已知a、b、c为非零平面向量。甲：a·b=a·c,乙：b=c,则（）(A)甲是乙的充分条件但不是必要条件(B)甲是乙的必要条件但不是充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件。类型1：各种条件的判断•练习2）已知α，β是两个不同的平面，直线a在α内，直线b在β内.命题p:a,b无公共点；命题q:α//β；则p是q的（）(A)充分条件

3、不必要条件(B)必要条件不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件。小结1：处理这类问题的关键是根据定义确定哪是条件，哪是结论，利用定义解题。类型2：充要条件的证明例题3）设x,y∈R，求证

4、x+y

5、=

6、x

7、+

8、y

9、成立的充要条件是xy≥0分析：充分性是证：若xy≥0，则

10、x+y

11、=

12、x

13、+

14、y

15、必要性是证：若

16、x+y

17、=

18、x

19、+

20、y

21、，则xy≥0，注意分类讨论证明：充分性：若xy=0，则（1）x=0,y≠0;（2）y=0,x≠0;(3)x=0,y=0,于是

22、x+y

23、=

24、x

25、+

26、y

27、。若xy>

28、0,即x>0,y>0,或x<0,y<0当x>0,y>0时，

29、x+y

30、=x+y=

31、x

32、+

33、y

34、当x<0,y<0时，

35、x+y

36、=-x-y=

37、x

38、+

39、y

40、总之当xy≥0时，

41、x+y

42、=

43、x

44、+

45、y

46、必要性：由

47、x+y

48、=

49、x

50、+

51、y

52、。得

53、x+y

54、2=（

55、x

56、+

57、y

58、）2即x2+2xy+y2=x2+2

59、xy

60、+y2即

61、xy

62、=xy,得xy≥0练习3）：若ab≠0，证明a3+b3+ab-a2-b2=0的充要条件是a+b=1小结2：充要条件的证明不仅要证充分性，而且要证必要性类型3：反证法的应用例题4）设函数f

63、(x)=2x2+mx+n,求证:f(1)

64、,

65、f(2)

66、,

67、f(3)

68、中至少有一个不小于1分析：由于要证结论的繁杂，不妨从反面入手，故采用反证法类型3：反证法的应用证明：假设原命题不成立，即f(1)

69、,

70、f(2)

71、,

72、f(3)

73、中都小于1

74、f(1)

75、112mn1.......(1)则

76、f(2)

77、1,182mn1......(2),

78、f(3)

79、11183mn1.....(3)（1）+（3）得-11<2m+n<-9,与（2）矛盾，所以假设不成立，所

80、以f(1)

81、,

82、f(2)

83、,

84、f(3)

85、中至少有一个不小于1小结3：较适宜使用反证法的常见情况有：（1）以“至少…”或“至多…”的形式出（2）涉及唯一性，存在性的问题；（3）以否定形式为结论；（4）从反面更易入手反证法步骤有：（1）作出与原命题相反的假设，（2）推出矛盾，（3）否定假设，肯定原命题类型3：反证法的应用练习4）设函数f(x)是R上的增函数：（1）若a+b≥0，是否有f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)？（2）若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),是否有a+b≥0？以上两结论

86、如正确，给出证明类型4：利用充要条件求参数例题4）已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0，a∈R求方程有两个正根的充要条件1a00分析：利用根与系数的关系可得xx012进一步可求解xx012