有关三角形的计算与证明中考热点专题练习四.doc

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1、热点小专题(四)　[有关三角形的计算与证明]类型一　与特殊三角形性质有关的计算与证明1．[2015·邵阳]如图Z4－1，等边三角形ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF.(1)求证：DE＝CF；(2)求EF的长．Z4－12．[2015·徐州]如图K24－2，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A，B分别落在x轴，y轴上，且AB＝12cm.(1)若OB＝6cm，①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；

2、(2)求点C与点O的距离的最大值．图Z4－2类型二　与全等三角形有关的计算与证明3．[2015·铜仁]如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，FE＝FD.求证：AD＝CE.图Z4－3类型三　与相似三角形有关的计算与证明4．[2015·安庆二模]如图K24－4，D是等边三角形ABC中BC边上一点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，交AC，AB于点E，F，连接BE，CF，分别交DF，DE于点N，M，连接MN.试判断△DMN的形状，并说明理由．图K24－45．[2015·福州]如

3、图Z4－5①，在锐角三角形ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE＝∠A，DM∥EF交AC于点M.(1)求证：DM＝DA；(2)点G在BE上，且∠BDG＝∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；(3)在(2)的条件下，在图②中，取CE上一点H，使得∠CFH＝∠B，若BG＝1，求EH的长．图Z4－5类型四　与解直角三角形有关的计算6．[2014·合肥实验学校一模]黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图Z4－6乙所示，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝1

4、5千米，CD＝3千米，请据此解答如下问题：(1)求该岛的周长和面积(结果保留整数，参考数据≈1.41，≈1.73，≈2.45)；(2)求∠ACD的余弦值．图Z4－67．[2015·青岛]小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m．请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈)图Z4－7参考答案1．解：(1)证明∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE＝BC.∵CF＝BC，∴D

5、E＝CF.(2)如图，连接BE.∵E是AC的中点，∴EC＝AC.∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∴EC＝BC.∵CF＝BC，∴EC＝CF.∵∠ACB＝60°，∴∠F＝30°.∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点，∴∠FBE＝30°，∴∠F＝∠FBE，∴EF＝BE.∵△ABC是等边三角形，边长是2，E是AC的中点，AC＝BC＝2，∴BE⊥AC，∠BEC＝90°，EC＝AC＝1，则BE＝＝＝，∴EF＝BE＝.2．解：(1)①如图，作CD⊥y轴，垂足为D.在△AOB中，∵∠AOB＝90°，AB＝12cm，OB＝6cm，∴∠B

6、AO＝30，∠ABO＝60°.在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AB＝12cm，∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝6cm.在△BCD中，∵CD⊥y轴，∴∠BDC＝90°.∵∠DBC＝180°－(∠ABO＋∠ABC)＝180°－(60°＋60°)＝60°，∴BD＝3cm，CD＝＝3cm.∴OD＝OB＋BD＝6＋3＝9(cm)，∴点C的坐标为(－3，9)．②设点A向右滑动xcm，则点B向上滑动xcm.在△AOB中，∵∠AOB＝90°，AB＝12cm，OB＝6cm，∴OA＝＝＝6(cm)，∴滑动后OA＝(6－x)

7、cm，OB＝(6＋x)cm.在滑动后的△AOB中，根据勾股定理得：OA2＋OB2＝AB2，即(6－x)2＋(6＋x)2＝122，解得x1＝0(舍去)，x2＝6－6，即滑动的距离为(6－6)cm.(2)如图，取AB的中点E，连接CE，OE.∵∠ACB＝∠AOB＝90°，∴CE＝EO＝AB＝6cm.∵CE＋EO≥CO，∴当CE＋EO＝CO(即C，E，O三点共线)时，CO最长＝12cm.3．证明：如图，过点D作DG∥BC.∵等边三角形ABC，FE＝FD.∴∠ADG＝∠B＝60°＝∠A，∴三角形ADG是等边三角形，∴DG＝AD.∵∠D

8、GF＝∠FCE，∠FDG＝∠E.又∵FE＝FD，∴△DGF≌△ECF，∴DG＝CE，∴AD＝CE.4．解：△DMN为等边三角形．理由：∵DE∥AB，DF∥AC，∴＝＝，＝，∴＝，∴MN∥BC.∴∠MND＝∠BDN＝∠ACB＝60°，∠NMD＝∠MDC＝∠ABC＝60°.∴△D