中考数学复习专题(六)四边形有关的计算与证明

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1、（2017浙江宁波第24题）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接，，，.(1)求证：四边形为平行四边形；(2)若矩形是边长为1的正方形，且，，求的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）易证AH=CF，结合已知条件由勾股定理可得EH=FG，同理可得EF=GH，从而得证.（2）设AE=x，则BE=x+1，由可得DH=x+1，AH=x+2,由可求出结果.试题分析：（1）在矩形ABCD中，A

2、D=BC，∠BAD=∠BCD=90°又∵BF=DH∴AD+DH=BC+BF即AH=CF在RtΔAEH中，EH=在RtΔCFG中，FG=∵AE=CG∴EH=FG同理得：EF=HG∴四边形EFGH为平行四边形．（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1设AE=x,则BE=x+1∵在RtΔBEF中，∴BE=BF∵BF=DH∴DH=BE=x+1∴AH=AD+DH=x+2∵∴AH=2AE∴2+x=2x∴x=2即AE=2考点：1.矩形的性质；2.平行四边形的判定；3.正方形的性质；4.解直角三角形.4.（2017甘肃庆阳第26题）如图，

3、矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【答案】(1)证明见解析.（2）．【解析】试题分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．（2）当四边形BEDF是菱形时，BE⊥EF，设BE=

4、x，则DE=x，AE=6﹣x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6﹣x）2，解得：x=，∵BD=，∴OB=BD=，∵BD⊥EF，∴EO=，∴EF=2EO=．考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质．5.（2017广西吴江第26题）已知，在中，是边上的一个动点，将沿所在直线折叠，使点落在点处.（1）如图1，若点是中点，连接.①写出的长；②求证：四边形是平行四边形.（2）如图2，若，过点作交的延长线于点，求的长.【答案】（1）①BD=，BP=2．②证明见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）

5、①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题；②想办法证明DP∥BC，DP=BC即可；（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22，推出x=，推出DN=，由△BDN∽△BAM，可得，由此求出AM，由△ADM∽△APE，可得，由此求出AE=，可得EC=AC﹣AE=4﹣=由此即可解决问题．试题解析：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，∴AB=，∵AD=CD=2，∴BD=，由翻折可知，BP=B

6、A=2．②如图1中，∵△BCD是等腰直角三角形，∴∠BDC=45°，∴∠ADB=∠BDP=135°，∴∠PDC=135°﹣45°=90°，∴∠BCD=∠PDC=90°，∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2，∴四边形BCPD是平行四边形．（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2，∴x2=（4﹣x）2+22，∴x=，∵DB=DA，DN⊥AB，∴BN=AN=，在Rt△BDN中，DN=，由△BDN∽△BAM，可得，∴∴AM=2

7、，∴AP=2AM=4，由△ADM∽△APE，可得，∴，∴AE=，∴EC=AC﹣AE=4﹣=，易证四边形PECH是矩形，∴PH=EC=．考点：四边形综合题．6.（2017贵州安顺第21题）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）添加AB=BC．【解析】试题分析：（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用

8、“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．试题解析：（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．∵DB=AC，∴DB∥EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=BC．理由：∵DB∥AE，DB=AE∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴