【斯巴达高考】斯巴达教育教学集团总裁武继周：中国数学奥林匹克竞赛“高级教练”.ppt

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1、第七部分：计数原理【斯巴达高考】斯巴达教育集团武继周中国数学奥林匹克竞赛“高级教练”一、乘法原理,加法原理1.乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，……，做第n步有mn不同的方法。那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。2.加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有M2种方法，……，第N类方式有M(N)种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种方法。二、排列数公式注意：1.规定0！=1！2.n∙m=(n+1)!-n!3.4.三、

2、组合数公式对于组合数有两个公式：四、排列组合题型1.直接法例:高二某班要从7名运动员出思铭组成4×100米接力队，参加运动会，其中甲，乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？再考虑每一类要如何安排棒数先分组四、排列组合题型2.排除法例：某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法共有多少种？四、排列组合题型3.捆绑法所谓捆绑法，指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻元素视作一个整体参与排序，然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。一般都应用在不同物体的排序问题中。例1：有10本不同的书：其中数学书4本

3、，外语书3本，语文书3本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？四、排列组合题型4.插空法先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻”问题。例：有3名男生和5名女生站成一排照相，如果男生不排在最左边且不相邻，则不同的排法有多少种？四、排列组合题型5.占位法从元素的特殊性上将，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素。例：五个不同的元素（i=1,2,3，4,5）排成一排，规定a1不许排第一，a2不许排第二，不同的排法共有多少种？四、排列组合题型6.平均法若

4、把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有种分法。用于分堆、分组问题。例：将10个人分成三组，一组4人，另外两组均3人，共有几种分法？四、排列组合题型7.隔板法常用于解正整数解组数的问题。例：x1+x2+x3+x4=12的正整数解有多少组？解：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入3块隔板，把球分成4组。每一种方法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4,显然x1+x2+x3+x4=12，故（x1,x2,x3,x4）是方程的一组解。反之，方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4),对应着唯一的一种在12个球之间插入隔板的方

5、式。故方程的解和插板的方法一一对应。即方程的解的组数等于插板的方法数习题1（华约）三个朋友，每人写一张明信片，一共三封明信片，寄给这三位中除本人以外的另两位之一，则这三人收到明信片的不同结果共有多少种？A.24种B.16种C.8种D.4种答案：C解析：23=8习题2ABCDE（卓越）如图所示，在A,B,C,D,E五个区域中栽培3种植物，要求同一区域只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽培方法的总数为多少？A.21B.24C.30D.48答案：C习题3（华约）设A=｛x

6、x≥10,x∈N｝,B⊆A,且B中元素满足：任一元素的各位数字互不相同，任

7、一元素的任意两个数位之和不等于9.(1)求B中的两位数和三位数的个数(2)B中是否存在五位数，六位数；(3)若从小到大排列B中元素，求第1081个元素；设B1=｛0,9｝，B2=｛1,8｝,B3=｛2,7｝,B4=｛3,6｝,B5=｛4,5｝，则B中元素的每个数位上的数字只能从上述五个不同的集合中分别抽取，每一个集合中至多抽取一个，所以（1）两位数个数：三位数个数：（2）存在五位数，从五个集合Bi（i=1,2,3,4,5）中各取一个构成；不存在六位数（3）因为四位数共有所以第1081个元素应是一个四位数，且是四位数中第577(1728-72-432=577

8、)个，而千位分别是1,2,3的四位数共有，所以，第1081个元素是4012。